Erro em regime permanente e sensibilidade à perturbação

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Teoria

Introdução

O erro no regime permanente é um dos principais fatores que caracterizam o quão bom um sistema de controle é. Por isso é muito importante saber determinar esse erro e conhecer todas as implicações e tudo que envolve esse tópico tão importante no estudo de controle.

O erro em regime permanente, é a diferença entre entrada e saída quando t → ∞ . Esse erro pode ser 0 , pode ser um constante, ou pode ser infinito. Veremos daqui a pouco como calcularemos isso.

Na figura acima, o gráfico representa três curvas: uma entrada degrau, e duas respostas de saída à essa mesma entrada.

Podemos perceber que a quando t → ∞ , a saída 1 tende ao mesmo valor do degrau da entrada, enquanto que a saída 2 fica constante em um valor abaixo do valor da entrada. Sendo assim dizemos que:

e 1 ∞ = 0

e 2 ∞ = c

Ok, mas como a gente calcula esse erro? E como eu sei quando o erro é 0 , quando não é e quando é infinito? Bora descobrir?

Tipos de função de transferência

Antes da gente pular de cabeça no tema dos erros, vamos abrir um parênteses aqui rapidinho para a gente definir algumas coisas bem rápidas.

Uma coisa que pode nos ajuda muito a saber que tipo de erro nosso sistema vai ter, é saber o tipo de função de transferência do nosso processo quanto à quantidade de polos na origem, isto é, a quantidade de termos s no denominador.

  • Uma função de transferência é do tipo 0, quando não tem nenhum polo na origem.
  • G s = 3 s + 1 s + 5

  • Uma função de transferência é do tipo 1, quando tem um polo na origem:
  • G s = s + 1 s 2 s + 3

  • Uma função de transferência é do tipo 2, quando tem dois polos na origem:
  • G s = 1 s 2 2 s + 1

    E assim, sucessivamente. Mole, né?

    Erro em regime permanente

    Beleza, agora vamos começar a calcular nossos erros de fato. Considere o seguinte diagrama de blocos:

    Esse diagrama de blocos é chamado de feedback (ou retroalimentação) unitário. Isso porque a linha de retroalimentação não tem nenhum bloco.

    Para calcular nosso erro E ( s ) , vamos nos utilizar das equações que podemos tirar do diagrama de blocos:

    E s =   R s - C ( s )

    Além disso:

    C s = E s G 1 ( s )

    Substituindo a de baixo na de cima:

    E s = R s - E s G 1 ( s )

    1 + G 1 s E s = R ( s )

    E s = R s 1 + G 1 s

    Essa é a expressão do erro para uma malha de feedback unitário. Como nós queremos encontrar o erro do estado estacionário, devemos usar o teorema do valor final.

    Para usar o teorema do valor final, basta multiplicar a expressão por s e fazer o limite de s → 0 :

    e ∞ = lim s → 0 ⁡ s E s = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G 1 s

    Erros para diferentes tipos de sistema

    Como vimos, para um sistema de feedback unitário, o erro pode ser calculado como:

    e ∞ = lim s → 0 ⁡ s E s = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G 1 s

    Vamos supor que R ( s ) seja uma entrada degrau:

    R s = 1 s

    e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G 1 s = lim s → 0 ⁡ 1 1 + G 1 ( s ) = 1 1 + lim s → 0 ⁡ G 1 s

    Ou seja, caso lim s → 0 ⁡ G 1 ( s ) seja o erro do sistema será 0 , caso contrário, o sistema carregará um erro no estado estacionário.

    Repare que lim s → 0 ⁡ G 1 ( s ) só será se ele tiver pelo menos um polo na origem. Então, podemos concluir que para a entrada degrau, o erro será uma constante se a função G 1 s for do tipo 0, e será 0 se a função G 1 ( s ) for do tipo 1 ou superior.

    Agora, imaginemos que a entrada R ( s ) seja do tipo rampa:

    R s = 1 s 2

    e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G 1 s = lim s → 0 ⁡ 1 / s 1 + G 1 ( s ) = lim s → 0 ⁡ 1 s + s G 1 s = 1 lim s → 0 ⁡ s G 1 s

    Portanto, o erro no estado estacionário será 0 , se lim s → 0 ⁡ s G 1 ( s ) for , para que isso aconteça, a função G 1 ( s ) tem que ser pelo menos do tipo 2. Se ela for do tipo 1 o erro será uma constante, e se ela for do tipo 0 o erro será infinito.

    De maneira geral:

    Para uma entrada degrau ( R s = 1 / s ), o erro será uma constante caso G 1 ( s ) seja do tipo 0, e será 0 , caso G 1 ( s ) seja do tipo 1 ou superior;

    Para uma entrada rampa ( R s = 1 / s 2 ), o erro será infinito caso G 1 s seja do tipo 0, será uma constante com G 1 ( s ) do tipo 1, e será 0 se G 1 ( s ) for do tipo 2 ou superior;

    Para uma entrada do tipo parábola ( R s = 1 / s 3 ), o erro será infinito caso G 2 ( s ) seja do tipo 1 ou 0, será uma constante com G 2 ( s ) do tipo 2, e será 0 se G 2 s for do tipo 3 ou superior;

    E assim o padrão se repete para entradas de ordem superior.

    Erro causado por perturbações

    Além da entrada, também podemos calcular nosso erro para uma perturbação, olha só:

    Nós temos que:

    E s = R s - C ( s )

    C s = E s G 1 s G 2 s + G 2 s D ( s )

    Substituindo a segunda na primeira e resolvendo para E ( s ) :

    E s = 1 1 + G 1 s G 2 s R s - G 2 s 1 + G 1 s G 2 s D ( s )

    Esse erro pode ser dividido em duas parcelas:

    E s = e R - e D

    Onde e R é o erro referente à entrada R ( s ) que nós já vimos, e e D é o erro referente ao distúrbio:

    e D = - G 2 s 1 + G 1 s G 2 s D ( s )

    Para encontrar o erro do estado estacionário causado pelo distúrbio:

      e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ s G 2 s 1 + G 1 s G 2 s D ( s )

    Se assumirmos que D ( s ) é uma perturbação degrau, teremos:

      e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ G 2 s 1 + G 1 s G 2 s

    Dividindo o numerador e o denominador por G 2 ( s ) :

    e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ 1 1 G 2 s + G 1 s = - 1 lim s → 0 ⁡ 1 G 2 s + lim s → 0 ⁡ G 1 s  

    Podemos perceber que o erro causado pelo distúrbio aumenta com o aumento de G 2 ( s ) e com a diminuição de G 1 ( s ) .

    Rejeição à perturbação

    Para nós, sempre será interessante que o erro causado por distúrbios seja 0 no estado estacionário. Entretanto, nem sempre isso será possível.

    Vamos continuar analisando nosso exemplo anterior.

    A equação para o erro causado por uma perturbação degrau unitário pode ser descrita como:

    e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ 1 1 G 2 s + G 1 s = - 1 lim s → 0 ⁡ 1 G 2 s + lim s → 0 ⁡ G 1 s  

    Como concluímos há pouco, quanto maior for o limite para 0 de G 1 ( s ) menor será o erro no estado estacionário, portanto, quando G 1 ( s ) tende a infinito, o erro tende a 0 , então dizemos que o sistema rejeita assintoticamente a perturbação. Para que isso aconteça, a função G 1 ( s ) precisa ser pelo menos do tipo 1.

    Repare que se a função G 2 ( s ) for do tipo 1 ou superior, nada poderá ser concluído sobre o erro. Repare também que a função G 2 ( s ) se encontra após a introdução do distúrbio na malha (à direita), enquanto a função G 1 ( s ) se encontra antes da introdução do distúrbio (à esquerda).

    A conclusão que tiramos disso é que para um sistema rejeitar assintoticamente uma perturbação do tipo degrau, ele precisa ter pelo menos uma função do tipo 1 ou superior à esquerda da introdução da perturbação.

    Caso o distúrbio for do tipo rampa, o erro em estado estacionário poderá ser calculado assim:

    e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ 1 / s 1 G 2 s + G 1 s = - 1 lim s → 0 ⁡ s 1 G 2 s + lim s → 0 ⁡ s G 1 s  

    Portanto, para que o lim s → 0 ⁡ s G 1 s   = ∞ , a função G 1 ( s ) precisa ser do tipo 2 ou superior, já para a função G 2 ( s ) , não existe nenhuma conclusão que se possa chegar.

    É possível então perceber uma tendência. Para o sistema rejeitar assintoticamente uma perturbação:

  • É preciso que exista pelo menos uma função do tipo 1 ou superior, à esquerda da perturbação, se ela for do tipo degrau;
  • É preciso que exista pelo menos uma função do tipo 2 ou superior, à esquerda da perturbação, se ela for do tipo rampa;
  • É preciso que exista pelo menos uma função do tipo 3 ou superior, à esquerda da perturbação, se ela for do tipo parábola.

Tipos de função de transferência

Erro em regime permanente

Erros para diferentes tipos de sistema

Erro causado por perturbações

Rejeição à perturbação

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o erro em regime permanente para o sistema da figura abaixo. Sabendo que:

G s = 5 s 2 + 7 s + 10

E que R ( s ) é um degrau unitário.

Passo 1

Pelo diagrama temos que:

G s = C s E s

C s = G s E ( s )

E:

E s = R s - C ( s )

Substituindo a primeira na segunda:

E s = R s - G s E ( s )

E s + G s E s = R ( s )

Portanto:

E s = R s 1 + G s

Passo 2

Substituindo o valor de G ( s ) que foi dado no enunciado e a entrada degrau, encontraremos a expressão do erro do sistema:

E s = 1 s 1 + 5 s 2 + 7 s + 10  

Rearranjando:

E s = s 2 + 7 s + 10 s s 2 + 7 s + 1 5

Passo 3

Para calcular o erro no estado estacionário, devemos aplicar o teorema do valor final na expressão do erro do sistema:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s s 2 + 7 s + 10 s s 2 + 7 s + 1 5

Cortando o s :

e ∞ = lim s → 0 ⁡   s 2 + 7 s + 10 s 2 + 7 s + 1 5 = 10 1 5

Resposta

e ∞ = 10 1 5

Exercício Resolvido #2

Um diagaram de blocos simplificado de um sistema de controle de malha fechada (de restroalimentação negativa) é mostrado na figura seguinte:

Sabendo-se que:

G C = K c

G P = K P τ P s + 1

Obtenha a expressão do erro em estado estacionário para uma entrada degrau unitário.

Passo 1

Pelo diagrama temos que:

G C s G P ( s ) = Y s E s

Y s = G C ( s ) G P s E ( s )

E:

E s = R s - Y ( s )

Substituindo a primeira na segunda:

E s = R s - G C s G P E ( s )

E s + G C s G P ( s ) E s = R ( s )

Portanto:

E s = R s 1 + G C s G P ( s )

Passo 2

Substituindo as expressões das funções de transferência e a entrada degrau unitário:

E s = 1 s 1 + K C K P τ P s + 1  

Rearranjando:

E s = τ P s + 1 s τ P s + 1 + K C K P

Passo 3

Para encontrar a expressão para o erro em estado estacionário, devemos utilizar o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s τ P s + 1 s τ P s + 1 + K C K P = lim s → 0 ⁡ τ P s + 1 τ P s + 1 + K C K P

e ∞ = 1 1 + K C K P

Resposta

e ∞ = 1 1 + K C K P

Exercício Resolvido #3

Determine o erro em regime permanente para entradas de 5 u ( t ) , 5 t u ( t ) e 5 t 2 u t para o sistema mostrado abaixo. Sabendo que:

G s = 100 ( s + 2 ) ( s + 6 ) s s + 3 ( s + 4 )

E que u ( t ) é o degrau unitário.

Passo 1

Pelo diagrama temos que:

G s = C s E s

C s = G s E ( s )

E:

E s = R s - C ( s )

Substituindo a primeira na segunda:

E s = R s - G s E ( s )

E s + G s E s = R ( s )

Portanto:

E s = R s 1 + G s

Passo 2

Fazendo primeiramente para a entrada 5 u ( t ) .

R s = 5 s

Substituindo o valor de G ( s ) que foi dado no enunciado e a entrada degrau, encontraremos a expressão do erro do sistema:

E s = 5 s 1 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 ) s s + 3 ( s + 4 )

Rearranjando:

E s = 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

Aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 5 s s + 3 s + 4 s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 ) = 0

Passo 3

Para a entrada 5 t u ( t ) :

R s = 5 s 2

Substituindo na expressão do erro:

E s = 5 s 2 1 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 ) s s + 3 ( s + 4 )

Rearranjando:

E s = 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s 2 s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

E aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s 2 s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 5 s + 3 s + 4 s s + 3 s + 4 + 100 s + 2 s + 6 = 60 1200 = 1 20

Passo 4

Por fim, para a entrada 5 t 2 u ( t ) :

R s = 5 s 3

Então, a expressão de E ( s ) fica assim:

E s = 5 s 3 1 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 ) s s + 3 ( s + 4 )

Rearranjando:

E s = 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s 3 s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

E aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s 3 s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s 2 s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 5 s + 3 s + 4 s 2 s + 3 s + 4 + 100 s s + 2 s + 6 = 60 0 = ∞

Resposta

Para:

R s = 5 s → e ∞ = 0

R s = 5 s 2 → e ∞ = 1 20

R s = 5 s 3 → e ∞ = ∞

Esses resultados são coerentes visto que a função de transferência é do tipo 1.

Exercício Resolvido #4

Determine o erro em regime permanente para entradas de 15 u ( t ) , 15 t u ( t ) e 15 t 2 u t para o sistema mostrado abaixo. Sabendo que:

G s = 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) s s + 25 ( s + 35 )

E que u ( t ) é o degrau unitário.

Passo 1

Primeiramente vamos relembrar como obter a expressão para o erro E ( s ) .

Pelo diagrama temos que:

G s = C s E s

C s = G s E ( s )

E:

E s = R s - C ( s )

Substituindo a primeira na segunda:

E s = R s - G s E ( s )

E s + G s E s = R ( s )

Portanto:

E s = R s 1 + G s

Passo 2

Fazendo primeiramente para a entrada 15 u ( t ) .

R s = 15 s

Substituindo o valor de G ( s ) que foi dado no enunciado e a entrada degrau, encontraremos a expressão do erro do sistema:

E s = 15 s 1 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) s s + 25 ( s + 35 )

Rearranjando:

E s = 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

Aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 15 s s + 25 s + 35 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) = 0

Passo 3

Para a entrada 15 t u ( t ) :

R s = 15 s 2

Substituindo na expressão do erro:

E s = 15 s 2 1 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) s s + 25 ( s + 35 )

Rearranjando:

E s = 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s 2 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

E aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s 2 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 15 s + 25 s + 35 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) = 2,1875

Passo 4

Por fim, para a entrada 15 t 2 u ( t ) :

R s = 15 s 3

Então, a expressão de E ( s ) fica assim:

E s = 15 s 3 1 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 ) s s + 25 ( s + 35 )

Rearranjando:

E s = 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s 3 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

E aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 15 s ( s + 25 ) ( s + 35 ) s 3 s s + 25 s + 35 + 10 ( s + 20 ) ( s + 30 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 5 s ( s + 3 ) ( s + 4 ) s 2 s s + 3 s + 4 + 100 ( s + 2 ) ( s + 6 )

e ∞ = lim s → 0 ⁡ 15 s + 25 s + 35 s 2 s + 25 s + 35 + 10 s ( s + 20 ) ( s + 30 ) = ∞

Resposta

Para:

R s = 15 s → e ∞ = 0

R s = 15 s 2 → e ∞ = 2,1875

R s = 15 s 3 → e ∞ = ∞

Exercício Resolvido #5

Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência:

G s = K s + 12 s + 14 s + 18

Determine o valor de K para resultar em um erro de 10 % em regime permanente. Considere uma entrada degrau unitário

Passo 1

A expressão para o erro E ( s ) para um feedback nós já encontramos:

E s = R s 1 + G s

Essa expressão foi deduzida na aula de erro em regime permanenre, caso você não lembre como chegamos nela, dá uma conferida lá e depois continua aqui.

Para esse caso amos considerar uma entrada defrau unitário, ou seja:

R s = 1 s

Nesse caso o enunciado nos disse claramente que a entrada era do tipo degrau, mas caso ele não falasse, nós poderíamos deduzir isso visto que a função de transferência é do tipo 0 e o erro no estado estacionário que desejamos é uma constante, Logo se a entrada fosse uma rampa, ou uma parábola o erro seria infinito, e se fosse um impulso, o erro seria 0.

Passo 2

Substituindo as funções de transferência na expressão do erro:

E s = 1 s 1 + K s + 12 s + 14 s + 18

Para calcular o erro, aplicamos o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s 1 + K s + 12 s + 14 s + 18 = lim s → 0 ⁡ 1 1 + K s + 12 s + 14 s + 18 = 0 , 1

Passo 3

Como para aplicar o teorema do valor final, devemos levar s a 0 :

1 1 + 12 K 14 * 18 = 0,1

1 1 + 12 K 252 = 0,1

252 252 + 12 K = 0,1

252 + 12 K = 252 0,1

252 + 12 K = 2520

K = 2520 - 2520 12 = 189  

Resposta

K = 189

Exercício Resolvido #6

Calcule o erro em regime permanente devido a uma perturbação degrau unitário para o sistema

Passo 1

Como vimos na aula de erros em regime permanente. O erro causado pelo distúrbio em uma malha do tipo da figura abaixo é sempre:

e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ s G 2 s 1 + G 1 s G 2 s D ( s )

Ou ainda, dividindo numerador e denominador pela função G ( s ) :

e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ 1 1 G 2 s + G 1 s = - 1 lim s → 0 ⁡ 1 G 2 s + lim s → 0 ⁡ G 1 s  

Basicamente, o erro será inversamente proporcional às funções que estão à esquerda da entrada do distúrbio na malha, e diretamente proporcional às funções que estão à direita.

Passo 2

Substituindo os valores das funções:

e D ∞ =   - 1 lim s → 0 ⁡ 1000 + lim s → 0 ⁡ s + 2 s + 4

e D ∞ = - 1 1000 + 2 4 = - 9,99 * 10 - 4

Resposta

e D ∞ =   = - 9,99 * 10 - 4

Exercício Resolvido #7

Determine o erro em regime permanente para uma entrada degrau unitário dado o sistema com realimentação não unitária da figura abaixo. Repita para uma entrada rampa.

Passo 1

Como a malha não é de realimentação unitária, não podemos usar a expressão que deduzimos para o erro para malha de realimentação unitária na aula sobre erros.

Então, vamos tentar chegar a expressão para o erro dessa malha do zero.

Para isso, vamos adicionar mais uma variável ao nosso diagrama de blocos, e vamos chamar nossos blocos genericamente de G 1 e G 2 :

Pelo diagrama de blocos temos que:

C s E s = G 1

M s C s = G 2

Multiplicando as duas expressões temos:

M s E ( s ) = G 1 G 2

M s = G 1 G 2 E ( s )

Passo 2

Além disso, também sabemos que:

E s =   R s - M ( s )

Então, substituindo a expressão de M s :

E s = R s - G 1 G 2 E ( s )

E s = R s 1 + G 1 G 2

Prontinho, já temos a expressão do erro para esse caso.

Passo 3

Substituindo os valores das funções de transferência e considerando degra unitário:

E s = 1 s 1 + 1000 s + 4 1 s + 1

Aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s 1 + 1000 s + 4 1 s + 1 = lim s → 0 ⁡ 1 1 + 1000 s + 4 1 s + 1 = 0,0385

Passo 4

Para a rampa:

E s = 1 s 2 1 + 1000 s + 4 1 s + 1

Aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s 2 1 + 1000 s + 4 1 s + 1 = lim s → 0 ⁡ 1 s 1 + 1000 s + 4 1 s + 1 = ∞

Resposta

Para:

R s = 1 s   →   e ∞   = 0,0385

R s = 1 s 2   →   e ∞ = ∞

Exercício Resolvido #8

Calcule o erro para uma perturbação do tipo degrau unitária na malha abaixo:

Primeiramente considere:

G 1 = 5

E depois considere:

G 1 = 5 s

Passo 1

Como já vimos na aula sobre erros em regime estacionário. O erro causado por um distúrbio numa malha desse tipo é igual a:

e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ s G 2 s 1 + G 1 s G 2 s D ( s )

Rearranjando:

e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ 1 1 G 2 s + G 1 s = - 1 lim s → 0 ⁡ 1 G 2 s + lim s → 0 ⁡ G 1 s  

Então agora, só precisamos substituir as nossas funções de transferência e calcular os erros

Passo 2

Considerando G 1 = 5 :

e D ∞ = - 1 lim s → 0 ⁡ s + 1 3 + lim s → 0 ⁡ 5   = 1 1 3 + 5 = 3 16

Passo 3

Considerando G 1 = 5 s :

e D ∞ = - 1 lim s → 0 ⁡ s + 1 3 + lim s → 0 ⁡ 5 s   = 1 1 3 + ∞ = 0

Resposta

Para:

G 1 s = 1 s   →   e D ∞   = 3 16

G 1 s = 1 s 2   →   e D ∞ = 0