Transformada de Laplace e Função de Transferência
Produzido por Alexandre NunesTeoria
Transformada de Laplace
Seria bom aprender ferramentas para facilitar a resolução de equações diferenciais né?
Em controle clássico, utilizamos com frequência uma dessas ferramentas, a Transformada de Laplace. Ela consegue transformar equações diferenciais desse tipo:
Com soluções difíceis e podendo ter essa cara:
Em uma divisão de polinômios, mais fácil de resolver:
Ok, e como isso corre?
Através desse teorema que relaciona uma função no domínio da frequência com outra no domínio do tempo.
Assim ela não parece que facilita nossa vida, rs.
Na prática, por exemplo, verificamos o seguinte ao realizarmos uma Transformada de Laplace de uma função exponencial.
Que no domínio da frequência é:
Ou seja, uma divisão de polinômios com um polinômio de grau zero em cima e um de grau um embaixo. Essa agora vai ser nossa realidade, trocar funções exponenciais e periódicas por uma função com divisão de polinômios.
Mas relaxe, nem sempre vamos precisar usar a definição para encontrar uma transformada de Laplace, muitas vezes vamos poder usar uma tabela como essa aqui:
Propriedades Transformada de Laplace
Para que essa mágica ocorra, é importante estarmos familiarizados com as propriedades das Transformadas de Laplace. As principais estão abaixo:
Para começarmos a nos entrosar com as propriedades, vamos utilizar o sistema de segunda ordem do início da teoria com e e com uma força externa
Passando do domínio do tempo para frequência e com isso utilizando as propriedades 4, 3 e 1
Nesse caso considerando condições iniciais nulas, .
Colocando o em evidência.
Passando o polinômio para o outro lado da igualdade.
Chegamos assim, na resposta do sistema no domínio da frequência.
O passo a passo para vitória quando utilizar a transformada de Laplace é:
- Obter as equações diferenciais linearizadas.
- Obter a transformada de Laplace das equações diferenciais.
- Resolver a equação algébrica resultante para a transformada de variável de interesse.
Transformada Inversa de Laplace
Como nosso mundo ocorre no domínio do tempo, a transformada de Laplace nos facilita resolver as equações diferenciais, mas depois de conseguirmos a solução, muitas vezes precisamos expressar a solução no domínio do tempo.
Para que isso ocorra, utilizamos a transformada inversa de Laplace:
Esse susto nós já tomamos hoje, kkkkkk.
Para utilizar a transformada inversa de Laplace, o que vamos fazer é utilizar o velho conhecido método das frações parciais na função e depois olharmos em tabelas de transformada de Laplace, qual a equivalente dos termos em destaque no domínio do tempo.
Sendo:
Ao realizarmos o método das frações parciais, resulta:
Em que e são conhecidos como resíduos. Para calcular eles, fazemos o seguinte:
e
Em que é a raiz do denominador do primeiro termo e é a raiz do denominador do segundo termo e o polinômio do numerador de e o polinômio do denominador de .
Atribuindo os respectivos valores para e .
Com os valores de e e substituindo em .
Olhando em qualquer tabela de pares de Transformada de Laplace, verificamos que:
Então,
Como as propriedades da Transformada de Laplace funcionam de forma semelhante para a Transformada Inversa de Laplace.
Com isso, conseguimos nosso resultado em função do tempo.
Função de Transferência
Um sistema com a seguinte equação do movimento:
Pode ser representado no domínio da frequência como:
A função de transferência de um sistema linear, é a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace da variável de entrada, com todas as condições iniciais nulas.
Ela é uma forma de representar a dinâmica do sistema. E só pode ser definida em um sistema linear e invariante no tempo. Lembre-se dessa condição, costuma cair com frequência em provas.
Outro detalhe importante sobre a função de transferência é que a ordem do polinômio do numerador deve ser menor ou igual ao do polinômio do denominador.
Agora é praticar!