Teoria
Introdução
Tudo que estudamos de controle até aqui, nós estudamos sob a ótica do controle analógico. O controle analógico funciona sempre com sistemas contínuos no tempo.
Se desejarmos usar um controlador digital na nossa planta, precisamos converter o sinal analógico para um sinal digital fazendo uso de um conversor A/D, que é formado por um amostrador e por um retentor.
Dessa forma, precisamos, por exemplo fazer com que um sinal seja transformado de contínuo para discreto. Esse procedimento é chamado de amostragem.
Para realizar a amostragem, utiliza-se um equipamento que chamamos de amostrador, no diagrama de blocos esse instrumento será representado da seguinte forma:
O amostrador funciona da seguinte forma: a chave fechará a intervalos constantes de tempo (). Quando a chave fecha, o sinal naquele momento da função é transmitido para o restante do sistema, como se o amostrador tirasse uma foto do sinal a intervalo regulares de tempo. Quando a chave está aberta, esse sinal é . Dessa forma, é possível fazer com que um sinal contínuo seja discretizado.
Para facilitar o nosso lado, vamos sempre considerar que o amostrador que estamos usando é ideal. Isso quer dizer que o nosso amostrador fica fechado por um tempo muito curto, um infinitésimo de segundo. Dessa forma, é como se quando a chave do amostrador fechasse, ele “tirasse uma foto” do sinal contínuo naquele momento. Deu pra pegar a ideia?
Vamos ver agora, matematicamente, como a amostragem de uma função contínua é feita, mas antes, precisamos lembrar de uma funçãozinha específica muito importante.
Função impulso
Provavelmente em algum momento da sua sofrida vida na faculdade você já viu em algum lugar a função impulso, também conhecida como Delta de Dirac. Se você não lembra (sem julgamentos, porque eu também não lembrava), vou refrescar a sua memória. A função Delta de Dirac, é definida da seguinte forma:
Ou seja, a função tem valor nulo para todos os valores de menos para onde ela assume o valor infinito.
Vamos imaginar uma função parecida, só que em vez de , em a função assumirá um valor unitário:
Dessa forma, ela teria a seguinte cara:
Vamos continuar brincando com esse conceito, se a gente deslocar esse impulso um pouco para a direita, teremos a seguinte função:
Lembra disso de cálculo? Quando a gente desloca uma função para a direita, nós subtraímos a quantidade deslocada do argumento da função.
Por último, vamos imaginar que a gente tem VÁRIOS impulsos afastados a uma quantidade de tempo contínua um do outro:
Se a gente fosse escrever essa função matematicamente, precisaríamos de um somatório, já que nela temos infinitas funções impulso juntas, sendo assim:
Repara que quando , teremos a função impulso em , quando teremos o impulso em , e assim por diante.
Essa última função, é chamada de trem de impulsos (hehe, esse nome é engraçado). Conseguiu entender como chegamos até ela? Vamos guardar essas conclusões na nossa manga rapidinho e daqui a pouco voltamos nela.
Amostragem
Beleza, vamos voltar agora para o nosso objetivo principal, que é fazer a amostragem de um sistema contínuo.
Vamos imaginar um sinal de entrada com a seguinte cara:
O que aconteceria se a gente multiplicasse essa função , pela função impulso?
Pensa comigo, a função impulso acima é para qualquer valor de , menos em onde é . Sendo assim, o produto das duas funções seria:
Da mesma forma, se eu multiplicasse a função pela função , eu obteria:
Ou seja, para conseguir o valor de uma função em um ponto específico, eu preciso multiplicar a minha função em tempo contínuo pelo impulso deslocado no tempo que eu preciso.
Se eu precisar de uma sequência de valores, ou, uma amostragem, basta que eu multiplique a minha função em tempo contínuo pela função trem de impulso. Como a função trem de impulso são vários impulsos afastados por um período (), o resultado dessa multiplicação, será a discretização da função , que chamaremos de :
Ou seja, a função discretizada é a soma dos produtos entre a função no ponto e a função impulso deslocado para aquele ponto.
Retentor
Lá em cima, eu disse que para um controle digital funcionar é preciso converter um sinal analógico para um digital.
Quem faz essa conversão são os conversores A/D. Esses conversores são compostos geralmente por duas partes, o amostrador e o retentor (também chamado de hold).
A função do amostrador, como já vimos, é fazer a discretização do sinal. Já o retentor, por sua vez, fará com que o sinal discretizado pelo amostrador seja mantido durante todo o período, , até que um novo sinal seja enviado quando a chave do amostrador fechar novamente.
Depois que o sinal passa pelo retentor, dizemos que ele fica quantizado. Esse sinal discretizado e quantizado é o sinal que chamamos que chamamos de sinal digital.
A equação do retentor no domínio da frequência é dada abaixo:
O que essa função faz basicamente é segurar o valor que foi “fotografado” pelo amostrador por um tempo até que outra foto seja tirada e outro valor tenha que ser retido por um tempo .
Teorema da amostragem
Como acabamos de ver, para ser discretizado um sinal precisa ser “multiplicado” por um trem de impulso que tem um certo período de amostragem .
Esse período de amostragem também pode ser escrito na forma de frequência de amostragem, :
Para que a amostragem seja feita de maneira fiel ao sinal contínuo é necessário que a frequência de amostragem seja pelo menos duas vezes maior que a maior frequência presente no sinal contínuo no tempo.
Caso a frequência da amostragem seja menor que o dobro da frequência máxima contida no sinal contínuo, informações sobre o sinal serão perdidas e a reconstrução para o tempo contínuo não poderá ser feita com fidelidade e ocorre uma distorção no sinal chamado de efeito de aliasing.
Esse teorema é chamado de Teorema de Nyquist-Shannon ou simplesmente de Teorema da Abaixo, está representado um exemplo de uma amostragem que foi feita a uma frequência menor o dobro da frequência do sinal original.
Repare que o sinal reconstruído é muito diferente do sinal original, essa distorção é o que chamamos de aliasing.
Se conhecemos a frequência máxima contida em um sinal, teremos a frequência mínima de amostragem para que não ocorra aliasing essa frequência é chamada de taxa de nyquist.
Caso a gente conheça a taxa de amostragem, conseguiremos identificar a frequência máxima que um sinal deve ter para que não ocorra aliasing, essa frequência é a frequência de nyquist.