Teoria

Introdução

Tudo que estudamos de controle até aqui, nós estudamos sob a ótica do controle analógico. O controle analógico funciona sempre com sistemas contínuos no tempo.

Se desejarmos usar um controlador digital na nossa planta, precisamos converter o sinal analógico para um sinal digital fazendo uso de um conversor A/D, que é formado por um amostrador e por um retentor.

Dessa forma, precisamos, por exemplo fazer com que um sinal seja transformado de contínuo para discreto. Esse procedimento é chamado de amostragem.

Para realizar a amostragem, utiliza-se um equipamento que chamamos de amostrador, no diagrama de blocos esse instrumento será representado da seguinte forma:

O amostrador funciona da seguinte forma: a chave fechará a intervalos constantes de tempo ( T ). Quando a chave fecha, o sinal naquele momento da função é transmitido para o restante do sistema, como se o amostrador tirasse uma foto do sinal a intervalo regulares de tempo. Quando a chave está aberta, esse sinal é 0 . Dessa forma, é possível fazer com que um sinal contínuo seja discretizado.

Para facilitar o nosso lado, vamos sempre considerar que o amostrador que estamos usando é ideal. Isso quer dizer que o nosso amostrador fica fechado por um tempo muito curto, um infinitésimo de segundo. Dessa forma, é como se quando a chave do amostrador fechasse, ele “tirasse uma foto” do sinal contínuo naquele momento. Deu pra pegar a ideia?

Vamos ver agora, matematicamente, como a amostragem de uma função contínua é feita, mas antes, precisamos lembrar de uma funçãozinha específica muito importante.

Função impulso

Provavelmente em algum momento da sua sofrida vida na faculdade você já viu em algum lugar a função impulso, também conhecida como Delta de Dirac. Se você não lembra (sem julgamentos, porque eu também não lembrava), vou refrescar a sua memória. A função Delta de Dirac, é definida da seguinte forma:

δ t = 0             t ≠ 0 ∞         t = 0  

Ou seja, a função tem valor nulo para todos os valores de t menos para 0 onde ela assume o valor infinito.

Vamos imaginar uma função parecida, só que em vez de , em 0 a função assumirá um valor unitário: δ t = 0             t ≠ 0 1         t = 0

Dessa forma, ela teria a seguinte cara:

Vamos continuar brincando com esse conceito, se a gente deslocar esse impulso um pouco para a direita, teremos a seguinte função:

f t = 0             t ≠ 0 1         t = t 0

f t = δ ( t - t 0 )

Lembra disso de cálculo? Quando a gente desloca uma função para a direita, nós subtraímos a quantidade deslocada do argumento da função.

Por último, vamos imaginar que a gente tem VÁRIOS impulsos afastados a uma quantidade de tempo contínua um do outro:

Se a gente fosse escrever essa função matematicamente, precisaríamos de um somatório, já que nela temos infinitas funções impulso juntas, sendo assim:

f k T = ∑ k = - ∞ ∞ δ t - k T

Repara que quando k = 0 , teremos a função impulso em 0 , quando k = 1 teremos o impulso em T , e assim por diante.

Essa última função, é chamada de trem de impulsos (hehe, esse nome é engraçado). Conseguiu entender como chegamos até ela? Vamos guardar essas conclusões na nossa manga rapidinho e daqui a pouco voltamos nela.

Amostragem

Beleza, vamos voltar agora para o nosso objetivo principal, que é fazer a amostragem de um sistema contínuo.

Vamos imaginar um sinal de entrada com a seguinte cara:

O que aconteceria se a gente multiplicasse essa função x ( t ) , pela função impulso?

δ t = 0             t ≠ 0 1         t = 0

Pensa comigo, a função impulso acima é 0 para qualquer valor de t , menos em 0 onde é 1 . Sendo assim, o produto das duas funções seria:

δ t x t = x ( 0 )

Da mesma forma, se eu multiplicasse a função x ( t ) pela função δ t - t 0 , eu obteria:

δ t - t 0 x t = x ( t 0 )

Ou seja, para conseguir o valor de uma função em um ponto específico, eu preciso multiplicar a minha função em tempo contínuo pelo impulso deslocado no tempo que eu preciso.

Se eu precisar de uma sequência de valores, ou, uma amostragem, basta que eu multiplique a minha função em tempo contínuo pela função trem de impulso. Como a função trem de impulso são vários impulsos afastados por um período ( T ), o resultado dessa multiplicação, será a discretização da função x ( t ) , que chamaremos de x * ( t ) :

x * t = ∑ k = - ∞ ∞ x k T δ t - k T

Ou seja, a função discretizada é a soma dos produtos entre a função x ( t ) no ponto k T e a função impulso deslocado para aquele ponto.

Retentor

Lá em cima, eu disse que para um controle digital funcionar é preciso converter um sinal analógico para um digital.

Quem faz essa conversão são os conversores A/D. Esses conversores são compostos geralmente por duas partes, o amostrador e o retentor (também chamado de hold).

A função do amostrador, como já vimos, é fazer a discretização do sinal. Já o retentor, por sua vez, fará com que o sinal discretizado pelo amostrador seja mantido durante todo o período, T , até que um novo sinal seja enviado quando a chave do amostrador fechar novamente.

Depois que o sinal passa pelo retentor, dizemos que ele fica quantizado. Esse sinal discretizado e quantizado é o sinal que chamamos que chamamos de sinal digital.

A equação do retentor no domínio da frequência é dada abaixo:

X k s X * s = 1 - e - T s s

O que essa função faz basicamente é segurar o valor que foi “fotografado” pelo amostrador por um tempo T até que outra foto seja tirada e outro valor tenha que ser retido por um tempo T .

Teorema da amostragem

Como acabamos de ver, para ser discretizado um sinal precisa ser “multiplicado” por um trem de impulso que tem um certo período de amostragem T .

Esse período de amostragem também pode ser escrito na forma de frequência de amostragem, f s :

f s = 1 T

Para que a amostragem seja feita de maneira fiel ao sinal contínuo é necessário que a frequência de amostragem seja pelo menos duas vezes maior que a maior frequência presente no sinal contínuo no tempo.

f s > 2 f M a x

Caso a frequência da amostragem seja menor que o dobro da frequência máxima contida no sinal contínuo, informações sobre o sinal serão perdidas e a reconstrução para o tempo contínuo não poderá ser feita com fidelidade e ocorre uma distorção no sinal chamado de efeito de aliasing.

Esse teorema é chamado de Teorema de Nyquist-Shannon ou simplesmente de Teorema da Abaixo, está representado um exemplo de uma amostragem que foi feita a uma frequência menor o dobro da frequência do sinal original.

Repare que o sinal reconstruído é muito diferente do sinal original, essa distorção é o que chamamos de aliasing.

Se conhecemos a frequência máxima contida em um sinal, teremos a frequência mínima de amostragem para que não ocorra aliasing essa frequência é chamada de taxa de nyquist.

Caso a gente conheça a taxa de amostragem, conseguiremos identificar a frequência máxima que um sinal deve ter para que não ocorra aliasing, essa frequência é a frequência de nyquist.

Função impulso

Amostragem

Retentor

Teorema da amostragem