Sistemas discretos no tempo

Precisamos encontrar a expressão que melhor descreve o cenário acima.

Todo mês, a pessoa deposita um certo dinheiro, além de receber uma taxa do banco. Essa pessoa é muito regrada e focada e não saca nem gasta nada. Sendo assim, teremos:

A variação na conta de um mês para o outro será a diferença entre esses valores, ou seja:

O depósito, é a variável de entrada do nosso problema:

E os juros serão sempre concendidos em cima do valor do mês anterior, ou seja:

Portanto, teremos:

Passando o para a esquerda, teremos:

Precisamos encontrar a expressão que melhor descreve esse modelo populacional.

Antes de começar a escrever a matemática do problema, vamos pensar melhor nele. Todo ano nesse país, um certo número de pessoas morres, um certo número de pessoas nascem e além disso, novas pessoas chegam do exterior.

Sendo assim, podemos afirmar que a diferença de população de um ano para o outro será igual ao número de pessoas que nascem, menos o núemero de pessoas que morrem mais o número de pessoas que imigram para esse país.

Vamos começar a substituir cada parcela dessa pelos seus termos matemáticos.

A variação da população, pode ser escrita como a diferença da população de um ano em relação ao ao anterior. Ou seja:

Também poderíamos escrever como:

Mas como o enunciado pede que a expressão relacione , vamos manter da primeira forma.

Estamos assim então:

Os nascimentos e mortes são dados no enunciado, e dependem do valor da população do ano atual.

Substituindo na expressão:

Por fim, o número de imigrantes que chegam ao país é uma constante, que pode ser expressa como:

Sendo assim:

Como temos alguns termos que dependem de , podemos juntar tudo em um só:

A média móvel, que a nossa saída nada mais é do que a média das últimas cinco entradas.

Portanto:

O diagrama de blocos para o sistema poderá ser representado da seguinte maneira:

Onde cada bloco é um elemento de atraso, ou seja, uma função que chega nele sempre sai com um atraso de . Sendo assim, nossa função precisa passar por esse bloco cinco vezes, e a saída de cada um dos blocos deve ser somada e então dividida por .

A saída representa a soma de todos os itens vendidos até aquele momento. Cada item tem valor , sendo assim, podemos escrever como:

A expressão acima está correta e poderia ser a resposta, entretanto existe uma forma mais elegante de escrever isso (e também vai ajudar a gente pro item b)

Analogamente à forma como escrevemos a expressão de , podemos também escrever a expressão de :

Podemos ver que a é igual à toda a parte final da expressão de , podemos então fazer a substituição e ficaremos com:

O diagrama de blocos para o sistema poderá ser representado da seguinte maneira:

Para gerar a saída devemos somar a entrada com a própria saída atrasada . Sendo assim, a gente realimenta o sistema com a própria saída, mas antes de somá-la à entrada, ela deve passar por um bloco de onde ela sairá atrasada.

O primeiro tempo é transformar todas as funções contínuas no tempo em funções discretas.

As funções e é só mudar diretão mesmo:

Para transformar as derivadas teremos que pensar um pouquinho mais, primeiramente vamos lembrar a definição de derivada:

Ou seja, a diferença entre uma função num certo tempo e essa mesma função num pequeno espaço de tempo anterior dividido por esse espaço de tempo.

Se formos aplicar isso num sistema discreto, o menor espeaço de tempo que podemos ter é o intervalo entre uma medida e outra. O será portanto o período de discretização, isto é, o tempo que o sistema leva para tomar as medidas:

Para a derivada segunda, devemos fazer o que fizemos para a derivada primeira duas vezes:

Se rearranjarmos:

Vamos agora substituir tudo que encontramos na equação diferencial do enunciado:

Multiplicando toda a equação por , teremos:

Por fim, rearranjando:

Antes de responder as perguntas, é legal reescrever o sistema de outra forma. Para facilitar as visualizações, muitas vezes é melhor trazer o sistema para o presente, isto é, deixar na expressão e não . Sendo assim, vamos atrasar uma unidade de todo mundo no sistema:

Bora lá!

A primeira pergunta é se o sistema é BIBO, ou seja, se é estável. Para que isso aconteça o sistema jamais pode extrapolar para o infinito se a entrada for limitada.

Mas pensa comigo, se for igual a , tenderá ao infinito.

Ou seja, com uma entrada limitada, , a saída não foi limita. , portanto, o sistema não é BIBO.

A segunda pergunta é se o sistema é sem memória.

Um sistema sema memória é aquele que só vive do presente ou do futuro, ou seja, não tem nenhum termo atrasado, seja de entrada ou da própria saída.

Entretanto, o sistema depende de que é um termo “atrasado”, portanto, o sistema não é sem memória.

Por último, precisamos dizer se o sistema é causal ou não.

Sistemas causais são aqueles que não tem nenhum termo antecipativo. Ou seja, qualquer sistema que tenha um termo como ou é chamado de não-causal.

No sistema do nosso enunciado, não temo nenhum termo antecipatório, portanto, ele é causal.

Para o primeiro caso, a entrada é três vezes maior, como o sistema é linear a sua saída deverá ser também três vezes maior, portanto:

Na letra b), a entrada está atrasada no tempo em duas unidades. Como o sistema é invariante no tempo, um atraso na entrada, representará um atraso na saída, portanto:

No último caso, temos uma combinação das duas propriedades. Além de mutiplizar a entrada por um fator de teremos que somar o valor anterior multiplicado po . Portanto, teremos:

Bom esse é moleza. Sistema causal é aquele que não tem termo antecipativo, como é o caso do nosso amiguinho aqui.

Portanto ele é sim causal.

Sistema com memória é aquele que depende de valores “atrasados”, seja de entrada ou de saída.

Nesse caso, temos aqui que depende diretamente de , portanto, o sistema tem memória.

A melhor forma de ver se o sistema é linear ou não e supondo valores e testanto.

Por exemplo, primeiramente vamos deixer que:

Com esses valores, teremos:

Agora vamos supor:

Com esses valores, teremos:

Até aqui, a gente só chutou números né, agora vem o teste em si. Para atender ao teste da aditividade, o seguinte tem que ser verdadeiro:

Ou seja, vamos calular novamente a função, agora somando os valores:

`Portanto:

Para atender ao critério:

Portanto, não é linear pois não atendeu ao critério da aditividade.

Podemos fazer o teste também pelo critério da homogeneidade. Através desse critério se multiplicarmos as entradas por um fator, a saída também precisa ser multiplicada pelo mesmo fator.

Voltando ao primeiro exemplo, nós tínhamos:

E isso gerou:

Pelo critério da homogeinidade, se as entradas forem dobradas, a saída também deverá ser dobrada. Vamos ver se isso acontece:

Assim teremos:

Ou seja, o sistema não atende nem ao critério da homogeinidade nem ao da aditividade, e portanto, não é linear.

Por fim, precisamos apenas checar se ele é invariante no tempo.

Isso quer dizer que se atrasrmos ou adiantarmos as entradas uma certa quantidade, a saída deverá ser adianta ou atrasada igualmente.

Se atrasarmos as entradas em uma unidade teremos:

O sistema é então invariante no tempo.

Sistemas não invariantes geralmente são aqueles que dependem do próprio termo, por exemplo:

Esse do lado de fora, torna o sistema não invariante, o que não é o caso do sistema do nosso enunciado.