Teoria

Introdução

Já vimos até aqui alguns métodos para sintonizar controladores. Esses métodos geralmente usavam alguma característica do nosso processo/planta para chegar até uma função de transferência para um controlador que fosse a melhor possível. Cada método tinha a sua própria forma de encontrar essa função de transferência, e nem sempre o que era o “melhor” para um método era também para o outro.

Continuando um pouco nessa loucura de sintonizar controladores, vamos aprender agora um outro método que tem uma abordagem um pouco diferente dos demais que vimos até agora, a síntese de controladores. A síntese de controladores tenta fazer o caminho inverso para conseguir encontrar a função de transferência do controlador. Mas como assim?

Bom, o que vai acontecer é que a gente vai especificar o tipo de resposta que a gente quer, e então a partir dessa reposta e da função de transferência da nossa planta, faremos o caminho inverso para encontrar a função de transferência do controlador.

Vamos então parar de falar e botar a mão na massa.

Fórmula da síntese

Para aplicar a síntese de controladores, precisamos encontrar uma fórmula para ela. Para isso, vamos olhar para o diagrama de blocos simplificado abaixo:

A função de transferência desse sistema será:

C s R s = G C G P 1 + G C G P

Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para a função de transferência do controlador a partir da função de transferência em malha fechada:

C s R s + C s R s G C G P = G C G P

C s R s G C G P - G C G P = - C s R s

C s R s G P - G P G C = - C s R s

G C = - C s R s C s R s G P - G P

Reorganizando:

G c = 1 G P   C s R s 1 - C s R s

Então, saindo da expressão da função de transferência em malha fechada, encontramos uma fórmula para o controlador que depende da função de transferência da planta, G P , e também da resposta do sistema, C s R s .

Especificação da resposta

Lá em cima eu disse, que a gente ia conseguir calcular o nosso controlador fixando uma resposta, e é isso que faremos a partir de agora.

O tipo de resposta mais fácil de ser atingido e também o mais comum é a resposta em primeira ordem sem tempo morto.

C s R s = 1 τ c s + 1

Por ser a mais usada, vamos trabalhar aqui apenas com esse tipo de resposta. Entretanto, o procedimento para outras respostas é basicamente o mesmo que faremos daqui para frente, porém com cálculos mais complicados.

Vamos substituir a resposta que queremos na nossa expressão do controlador:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 1 - 1 τ c s + 1

Manipulando um pouco esse capetinha:

G c = 1 G P   1 τ c s + 1 τ c s τ c s + 1

G c = 1 G P τ c s

Essa é a fórmula que iremos usar para encontrar os parâmetros do controlador. Repare que a única coisa que precisamos, o único parâmetro de sintonização, é a constante de tempo da resposta. Tendo esse valor e a função de transferência da nossa planta, conseguiremos encontrar facilmente a função de transferência do controlador

Encontrando a função de transferência do controlador

Para encontrar a função de transferência do controlador, precisaremos analisar a função de transferência da planta do nosso sistema, já que como vimos acima, uma coisa está diretamente relacionada a outra.

Por exemplo, vamos considerar que a nossa planta/processo tem uma função de transferência de primeira ordem, assim como a resposta que especificamos:

G P = K τ s + 1

Substituindo na expressão do controlador:

G C = τ s + 1 K τ c s

Se manipularmos um pouco essa expressão, teremos:

G C = 1 K τ c τ + 1 s

G C = τ K τ c 1 + 1 τ s

Olha só! Essa expressão é muito parecida com a do controlador PI:

G C = K C 1 + 1 τ i s

Portanto, por comparação, conseguimos encontrar os parâmetros do controlador:

K C = τ K τ c

τ i = τ

Só lembrando para não confundir, τ c é a constante do tempo da resposta de primeira ordem sem tempo morto desejada, C s R s , τ é a constante de tempo da função de transferência da nossa planta, G P , e τ i é a constante de tempo integral do controlador PI.

Uma outra coisa importante de ter em mente é que quando utilizamos a síntese de controladores, não somos nós que determinamos o tipo de controlador que usaremos, e sim a função de transferência da planta do sistema, G P . No exemplo anterior vimos que quando essa função de transferência era de primeira ordem e sem atraso, a função de transferência do controlador naturalmente convergiu a uma forma equiparável ao do controlador PI.

Sendo assim, para saber qual será o controlador usado, devemos substituir o G P e ver o “formado” da expressão que encontraremos.

Nos exercícios veremos outros exemplos de G P que não sejam funções de transferência de primeira ordem e veremos quais controladores serão usados para cada tipo de G P .

Especificação da resposta

Encontrando a função de transferência do controlador