Síntese de controladores
Produzido por Alexandre NunesTeoria
Introdução
Já vimos até aqui alguns métodos para sintonizar controladores. Esses métodos geralmente usavam alguma característica do nosso processo/planta para chegar até uma função de transferência para um controlador que fosse a melhor possível. Cada método tinha a sua própria forma de encontrar essa função de transferência, e nem sempre o que era o “melhor” para um método era também para o outro.
Continuando um pouco nessa loucura de sintonizar controladores, vamos aprender agora um outro método que tem uma abordagem um pouco diferente dos demais que vimos até agora, a síntese de controladores. A síntese de controladores tenta fazer o caminho inverso para conseguir encontrar a função de transferência do controlador. Mas como assim?
Bom, o que vai acontecer é que a gente vai especificar o tipo de resposta que a gente quer, e então a partir dessa reposta e da função de transferência da nossa planta, faremos o caminho inverso para encontrar a função de transferência do controlador.
Vamos então parar de falar e botar a mão na massa.
Fórmula da síntese
Para aplicar a síntese de controladores, precisamos encontrar uma fórmula para ela. Para isso, vamos olhar para o diagrama de blocos simplificado abaixo:
A função de transferência desse sistema será:
Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para a função de transferência do controlador a partir da função de transferência em malha fechada:
Reorganizando:
Então, saindo da expressão da função de transferência em malha fechada, encontramos uma fórmula para o controlador que depende da função de transferência da planta, , e também da resposta do sistema, .
Especificação da resposta
Lá em cima eu disse, que a gente ia conseguir calcular o nosso controlador fixando uma resposta, e é isso que faremos a partir de agora.
O tipo de resposta mais fácil de ser atingido e também o mais comum é a resposta em primeira ordem sem tempo morto.
Por ser a mais usada, vamos trabalhar aqui apenas com esse tipo de resposta. Entretanto, o procedimento para outras respostas é basicamente o mesmo que faremos daqui para frente, porém com cálculos mais complicados.
Vamos substituir a resposta que queremos na nossa expressão do controlador:
Manipulando um pouco esse capetinha:
Essa é a fórmula que iremos usar para encontrar os parâmetros do controlador. Repare que a única coisa que precisamos, o único parâmetro de sintonização, é a constante de tempo da resposta. Tendo esse valor e a função de transferência da nossa planta, conseguiremos encontrar facilmente a função de transferência do controlador
Encontrando a função de transferência do controlador
Para encontrar a função de transferência do controlador, precisaremos analisar a função de transferência da planta do nosso sistema, já que como vimos acima, uma coisa está diretamente relacionada a outra.
Por exemplo, vamos considerar que a nossa planta/processo tem uma função de transferência de primeira ordem, assim como a resposta que especificamos:
Substituindo na expressão do controlador:
Se manipularmos um pouco essa expressão, teremos:
Olha só! Essa expressão é muito parecida com a do controlador PI:
Portanto, por comparação, conseguimos encontrar os parâmetros do controlador:
Só lembrando para não confundir, é a constante do tempo da resposta de primeira ordem sem tempo morto desejada, , é a constante de tempo da função de transferência da nossa planta, , e é a constante de tempo integral do controlador PI.
Uma outra coisa importante de ter em mente é que quando utilizamos a síntese de controladores, não somos nós que determinamos o tipo de controlador que usaremos, e sim a função de transferência da planta do sistema, . No exemplo anterior vimos que quando essa função de transferência era de primeira ordem e sem atraso, a função de transferência do controlador naturalmente convergiu a uma forma equiparável ao do controlador PI.
Sendo assim, para saber qual será o controlador usado, devemos substituir o e ver o “formado” da expressão que encontraremos.
Nos exercícios veremos outros exemplos de que não sejam funções de transferência de primeira ordem e veremos quais controladores serão usados para cada tipo de .