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Enunciado

Termodinâmica - Van Wylen- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 73

5.73 Um escoamento é representado pelo campo de velocidade V → = x 7 - 21 x 5 y 2 + 35 x 3 y 4 - 7 x y 6 i ^ + ( 7 x 7 y - 35 x 4 y 3 + 21 x 2 y 5 - y 7 ) j ^ . Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompressível e (b) irrotacional.

Passo 1

Vamos começar pela equação da continuidade:

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Considerando regime permanente,

∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada,

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como não há componente ou variação de velocidade na direçao z , então:

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Como u = x 7 - 21 x 5 y 2 + 35 x 3 y 4 - 7 x y 6 e v = 7 x 7 y - 35 x 4 y 3 + 21 x 2 y 5 - y 7

∂ ( x 7 - 21 x 5 y 2 + 35 x 3 y 4 ) ∂ x + ∂ ( 7 x 7 y - 35 x 4 y 3 + 21 x 2 y 5 - y 7 ) ∂ y = 0

7 x 6 - 105 x 4 y 2 + 105   x 2 y 4 + 7 x 7 - 105 x 4 y 2 + 105 x 2 y 4 - 7 y 6 = 0

7 x 7 + 7 x 6 - 210 x 4 y 2 + 210 x 2 y 4 - 7 y 6 ≠ 0

Como não satisfaz a equação, então não é um possível escoamento incompressível.

Passo 2

(b) Em casos bidimensionais, para ser irrotacional:

∂ u ∂ y - ∂ v ∂ x = 0

Como u = x 7 - 21 x 5 y 2 + 35 x 3 y 4 - 7 x y 6 e v = 7 x 7 y - 35 x 4 y 3 + 21 x 2 y 5 - y 7 ,

∂ x 7 - 21 x 5 y 2 + 35 x 3 y 4 ∂ y - ∂ 7 x 7 y - 35 x 4 y 3 + 21 x 2 y 5 - y 7 ∂ x = 0

- 42 x 5 y + 140 x 3 y 3 - 49 x 6 y - 140 x 3 y 3 + 42 x y 5 = 0

- 42 x 5 y - 49 x 3 y 3 + 42 x y 5 ≠ 0

Como não satisfaz a equação, então não é irrotacional.

Resposta

(a) não é um possível escoamento incompressível.

(b) não é irrotacional.

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