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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 86

O ar que escoa de forma permanente em um bocal passa por um choque normal a um número de Mach igual a 3,2 . Considerando que a pressão e a temperatura do ar correspondem respectivamente a 58   k P a e 270   K a montante do choque, calcule a pressão, temperatura, velocidade, o número de Mach e a pressão de estagnação a jusante do choque. Compare esses resultados com aqueles obtidos para o hélio que passa por um choque normal nas mesmas condições.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos afirma que o ar que flui através de um bocal sofre um choque normal. O efeito da onda de choque em várias propriedades deve ser determinado. A análise deve ser repetida para o hélio sob as mesmas condições.

Podemos representar como,

Assumindo que:

  1. O ar é um gás ideal com aquecimento específico constante.
  2. O fluxo através do bico é constante, unidimensional e isentrópico antes que o choque ocorra.

As propriedades do ar são k   =   1.4 e R   =   0.287 k J k g ∙ K , e as propriedades do hélio são k   =   1.667 e R   =   2.0769 k J k g ∙ K .

Passo 2

Pronto já temos todas as informações necessárias, vamos para a análise. Desse modo temos que

as propriedades do ar a montante do choque são

M a 1 = 3.2 ,       P 1 = 58 k P a ,   e   T 1 = 270   K

As propriedades do fluido após o choque (indicadas pelo subscrito 2) estão relacionadas com as propriedades anteriores ao choque através das funções da Tabela A-33. Para M a 1   =   3.2 ,

M a 2 = 0.4643 ,     P 02 P 1 = 13.656 ,     P 2 P 1 = 11.780 ,         e     T 2 T 1 = 2.9220

Obtivemos estes valores utilizando as relações analíticas da Tabela A-33. Em seguida, a pressão de estagnação P 02 , a pressão estática P 2 , e a temperatura estática T 2 , são determinadas como

P 02   =   13.656 P 1   =   ( 13.656 ) ( 58   k P a )   =   792.0   k P a

P 2   =   11.780 P 1   =   ( 11.780 ) ( 58   k P a )   =   683.2   k P a

T 2   =   2.9220 T 1   =   ( 2.9220 ) ( 270   K )   =   788.9   K

Passo 3

Desse modo, temos também que a velocidade do ar após o choque pode ser determinada a partir de V 2   =   M a 2 c 2 , onde c 2 é a velocidade do som nas condições de saída após o choque,

V 2 = M a 2 c 2 = M a 2 k R T 2 = 0.4643 1.4 0.287 k J k g ∙ K 788.9   K 1000 m 2 s 2 1 k J k g

V 2 = 261.4 m / s

Passo 4

Repetimos agora a análise para o hélio. Desta vez não podemos usar os valores tabulados na Tabela A-33 já que k não é 1.4 . Portanto, temos que calcular as quantidades desejadas usando as relações analíticas,

M a 2 = M a 1 2 + 2 k - 1 2 M a 1 2 k / k - 1 - 1 1 / 2 = 3.2 2 + 2 1.667 - 1 2 × 3.2 2 × 1.667 1.667 - 1 - 1 1 / 2 = 0.5136

P 2 P 1 = 1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2 = 1 + 1.667 × 3.2 2 1 + 1.667 × 0.5136 2 = 12.551

T 2 T 1 = 1 + M a 1 2 ( k - 1 ) / 2 1 + M a 2 2 ( k - 1 ) / 2 = 1 + 3.2 2 ( 1.667 - 1 ) / 2 1 + 0.5136 2 ( 1.667 - 1 ) / 2 = 4.0580

P 02 P 1 =   1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2 1 + k - 1 M a 2 2 k / ( k - 1 )   = 1 + 1.667 × 3.2 2 1 + 1.667 × 0.5136 2 1 + 1.667 - 1 × 0.5136 2 2 1.667 / 0.667 = 15.495

Então

P 02   =   15.495 P 1   =   ( 15.495 ) ( 58   k P a )   =   898.7   k P a

P 2   =   12.551 P 1   =   ( 12.551 ) ( 58   k P a )   =   728.0   k P a

T 2   =   4.0580 T 1   =   ( 4.0580 ) ( 270   K )   =   1096   K

V 2 = M a 2 c 2 = M a 2 k R T y = 0.5136 1.667 2.0769 k J k g ∙ K 1096   K 1000 m 2 s 2 1 k J k g

V 2 = 1000   m / s

Note que, a velocidade e o número de Mach são maiores para o hélio do que para o ar, devido aos diferentes valores de k e R .

Resposta

0.4643

792   k P a

683.2   k P a

788.9   K

261.4   m / s

0.5136

898.7   k P a

728.0   k P a

1096   K

1000   m / s

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