Uma barra cilíndrica de cobre de área de base A e comprimento L é isolada ao longo de sua superfície lateral. Uma das extremidades da barra está em contato com uma parede à temperatura T H . A outra extremidade está em contato com uma parede a uma temperatura baixa T C . Em regime permanente, a taxa pela qual a energia é conduzida para o interior da barra a partir da parede quente é

Q ˙ H = k A T H - T C L

Em que k é a condutividade térmica da barra de cobre.

a) Considerando a barra como o sistema, obtenha uma expressão para a taxa temporal de geração de entropia em termos de A ,   K ,   T H ,   T C   e   k .

b) Se T H = 327 ° C , T C = 77 ° C , k = 0,4   k W / m ⋅ K e A = 0,1   m 2 , represente graficamente a taxa de geração de entropia, em k W / K , ambos em função de L , que varia entre 0,01 e 1,0   m . Discuta os resultados.

Passo 1

Letra a)

Começamos o nosso problema analisando que o nosso sistema, em estado estacionário, a taxa na qual a energia é conduzida para a haste da parede quente é dada por:

Q ˙ H = k A T H - T C L

Considerando a haste como um sistema, a taxa de produção de entropia é expressa como:

∆ s = ∫ 1 2 d Q T b + σ

d s d t = Q ˙ H T H - Q ˙ C T C + σ

Aqui, a taxa de variação de entropia é zero.

σ = - Q ˙ H T H + Q ˙ C T C

Assim, o equilíbrio de entropia dá Q ˙ H = Q ˙ C .

Desse modo, a geração de entropia é expressa como:

σ = Q ˙ C T C - Q ˙ H T H

σ = Q ˙ H 1 T C - 1 T H

Substituindo Q ˙ H :

σ = k A T H - T C L 1 T C - 1 T H

σ = k A T H - T C 2 L T C T H

Passo 2

Letra b)

Dados:

T H = 327 ° C = 600   K

T c = 77 ° C = 350   K

k = 0,4   k W / m ⋅ K

A = 0,1   m 2

Substituindo os dados na equação de Q ˙ H :

Q ˙ H = 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 600 - 350 L

Q ˙ H = 10 L

Agora, adotando 0,01 ≤ L ≤ 1 :

Plotando o gráfico:

Passo 3

Substituindo os dados na equação de σ :

σ = 0,4 ⋅ 0,1 ⋅ 600 - 350 2 L ⋅ 600 ⋅ 350

σ = 0,012 L

Agora, adotando 0,01 ≤ L ≤ 1 :

Plotando o gráfico:

Analisando os gráficos, percebemos que a transferência de calor e a taxa de geração de entropia diminuem com o aumento de L .

Até a próxima questão!

Resposta

a )   σ = k A T H - T C 2 L T C T H

b )   G r á f i c o s  

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