Enunciado

Determine a taxa externa de calor fornecido e a potência produzida pelo ciclo Stirling do P r o b .   9 – 75 , considerando que ele é repetido 1.300 vezes por minuto.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O problema anterior ( P r o b .   9 – 75 ) trata de grandezas por unidade de massa. Poderíamos somente usar os resultados do exercício anterior e multiplicar pela massa de 1   k g .

Porém, para efeito de demonstração, faremos o exercício utilizando as equações envolvendo a massa.

Se você não está familiarizado com o ciclo Stirling, observe abaixo o seu diagrama P - v .

Nos é dito que o ciclo opera com 1 kg de ar entre os reservatórios a 27   ° C   e   527   ° C . A pressão máxima do ciclo é de 2.000   k P a , e a pressão mínima do ciclo é de 100   k P a . Portanto:

T L = 27 ° C + 273 = 300   K

T H = 5 27 ° C + 273 = 8 00   K

P 3 = 1 0 0   k P a

P 1 = 2000   k P a

Como devemos considerar calores específicos constantes à temperatura ambiente, temos que:

c p = 1,005   k J / k g ⋅ K

c v = 0,718   k J / k g ⋅ K

R = 0,287   k J / k g ⋅ K

Passo 2

Podemos relacionar a transferência de calor com a variação de entropia:

Q = T ∆ s

Portanto, analisando o processo 2 → 1 , temos que:

Q e n t = m ⋅ T H ⋅ s 2 - s 1

Aplicando ao nosso exercício, temos que:

s 2 - s 1 = Q e n t 1 ⋅ 8 00

Sabemos também que a variação de entropia de um gás ideal durante um processo isotérmico é dada por:

∆ s = - m R ln ⁡ P s a i P e n t

Aplicando ao exercício, temos que:

s 2 - s 1 = - 1 ⋅ 0,287 ⋅ ln ⁡ P 2 200 0

Logo:

Q e n t 800 = - 0,287 ⋅ ln ⁡ P 2 2000

Passo 3

O processo 2 → 3 acontece a volume constante, logo:

P 2 P 3 = T 2 T 3

P 2 = P 3 T 2 T 3

Substituindo os valores, temos que:

P 2 = 100 ⋅ 800 300

P 2 = 266,67   k P a

Portanto, o calor que entra no processo 2 → 3 é dado por:

Q e n t 800 = - 0,287 ⋅ ln ⁡ 266,67   2000

Q e n t = 462,56   k J

Passo 4

Aplicando a definição de eficiência térmica para um ciclo ideal:

η = W l i q Q e n t = Q e n t - Q s a i Q e n t = 1 - Q s a i Q e n t

Para um ciclo reversível ideal, temos que:

Q e n t Q s a i = T H T L

Logo:

η = 1 - T L T H

Substituindo os valores, temos que:

η = 1 - 300 800

η = 0,625

Ou:

η = 62 , 5 %

Passo 5

O trabalho também pode ser encontrado a partir da definição de eficiência térmica:

η = W l i q Q e n t

W l i q = η ⋅ Q e n t

Substituindo os valores, temos que:

W l i q = 0,625 ⋅ 425,56

W l i q = 289,1   k J

A potência produzida pelo ciclo considerando que ele é repetido 1300 vezes por minuto é de:

P = W l i q ⋅ n

P = 289,1 ⋅ 1300 60

P = 6264   k W

O calor fornecido também considerando o numero de ciclos é dado por:

Q ˙ e n t = Q e n t ⋅ n

Q ˙ e n t = 462,6 ⋅ 1300 60

Q ˙ e n t = 10023   k W

Resposta

P = 6264   k W

Q ˙ e n t = 10023   k W

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