Enunciado

A Fig. P5.92 mostra um sistema que consiste em um ciclo de potência acionando uma bomba de calor. Em regime permanente, o ciclo de potência recebe Q s por transferência de calor a T s da fonte de alta temperatura e fornece Q 1 para uma residência a T r . A bomba de calor recebe Q 0 do exterior a T 0 e fornece Q 2 para a residência.

Usando a Eq. 5.13, obtenha uma expressão para o valor teórico máximo do parâmetro de desempenho Q 1 +   Q 2 Q s em termos das razões de temperatura T s T r e T 0 T r .

Passo 1

Se você não tiver o livro original, não precisa se preocupar com a imagem pois a gente da equipe do Responde Aí facilita sua vida sempre e limpou a figura pra você gabaritar nessa questão e na sua prova. Então, vem com a gente.

Supondo que o sistema mostrado na figura está em estado estacionário, o valor teórico máximo para Q 1 +   Q 2 Q s é obtido na AUSÊNCIA DE IRREVERSIBILIDADES INTERNAS.

Isso significa que o equilíbrio da taxa de energia para o sistema reduz para a seguinte condição:

d E d t   =   Q   –   W

Melhorando, em termos das nossas incógnitas temos:

0   =   Q s   +   Q 0   -   Q 1   -   Q 2

Q 0   =   Q 1   +   Q 2   -   Q s

Com essa suposição, podemos utilizar a Eq 5.7 para escrever as equações de cada máquina, onde:

Q e n t r a d a T e n t r a d a = Q s a í d a T s a í d a → Q h o t T h o t = Q c o l d T c o l d

Para o CICLO DE POTÊNCIA:

Q 1 T r = Q s T s

Para a BOMBA DE CALOR:

Q 2 T r   = Q 0 T 0

Passo 2

A razão Q 1 +   Q 2 Q s pode ser exposta conforme a relação seguir, pelas equações escritas acima, onde:

Q 1   = T r T s   x   Q s

Q 0   = T 0 T s x   Q 2

Inserindo os valores dessa relação nas equações do Passo 1 e resolvendo para isolar Q 2 Q s , temos:

T 0 T r x   Q 2   = T r T s x   Q s   +   Q 2   -   Q s

T 0 T r   -   1   Q 2   =   T r T s   -   1   Q s

Isolando Q 2 :

Q 2   = T r T s T r   -   T s T 0   -   T r x   Q s

Passo 3

A partir daqui, podemos escrever todo o problema em função APENAS de T r , T s e T 0 exatamente como a questão pede onde:

Q 1   +   Q 2 Q s = T r T s x   Q s   + T r T s x ( T r   -   T s ) ( T 0   -   T r ) x   Q s Q s

T r T s 1 +   ( T r   -   T s ) ( T 0   -   T r )

T r T s ( T 0   -   T s ) ( T 0   -   T r )

Colocando os valores em já função das razões de temperatura T s T r e T 0 T r , ficamos com:

Q 1   +   Q 2 Q s = 1 T s T r T s T r -   T 0 T r 1 -   T 0 T r

Resposta

Q 1   +   Q 2 Q s = 1 T s T r T s T r -   T 0 T r 1 -   T 0 T r

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