Um fio de aço suspenso verticalmente, conforme ilustrado na figura, tem uma área A de seção transversal e um comprimento inicial x 0 . Uma força F para baixo, aplicada à extremidade do fio faz com que este se estique. A tensão normal no fio varia linearmente de acordo com σ = C ∙ ε , em que ε é a deformação, dada por ε = x - x 0 / x 0 , em que x é o comprimento do fio esticado. C é uma constante do material (módulo de Young). Admitindo que a área da seção transversal permanece constante, (a) obtenha uma expressão para o trabalho realizado sobre o fio, (b) calcule o trabalho realizado sobre o fio, em ft.lbf, e a magnitude da força dirigida para baixo, em lbf, se x 0 = 10 ft (3,0 m), x =10,01 ft (3,0 m), A = 0,1 in² ( 6,53 ∙ 10 - 5 m²), e C = 2,5 ∙ 10 7 lbf/in² ( 1,7 ∙ 10 11 Pa).

Passo 1

Temos muita informação no texto, bem confuso!

Vamos dar uma organizada nos dados:

σ = C ∙ ε ε = x - x 0 x 0 x 0 = 10   f t x = 10,01   f t A = 0,1   i n 2 = 6,94 ∙ 10 - 4   f t ² C = 2,5 ∙ 10 7 l b f / i n ² = 360 ∙ 10 7   l b f / f t ²

Bem melhor de observar cada coisa assim né?

Já podemos organizar:

ε = x - x 0 x 0

d ε = d x x 0

d x = x 0 ∙ d ε

Beleza?

Passo 2

Agora vamos achar essa expressão para o trabalho na letra (a). Temos que o trabalho de tração pode ser expresso como:

W = - ∫ x 0 x σ ∙ A ∙ d x

Já temos que:

σ = C ∙ x - x 0 x 0 e d x = x 0 ∙ d ε

Então substituindo na fórmula do trabalho:

W = - ∫ 0 ε C ∙ ε ∙ A ∙ x 0 ∙ d ε

Como C, A e x 0 são constantes, podemos colocar para fora da integral!

W = - C ∙ A ∙ x 0 ∙ ∫ 0 ε ε ∙ d ε

W = - C ∙ A ∙ x 0 ∙ ε 2 2  

Passo 3

Para achar o trabalho na letra (b) é só substituir na equação achada anteriormente!

W = - C ∙ A ∙ x 0 ∙ x - x 0 x 0 2 2  

W = - 360 ∙ 10 7 ∙ 6,94 ∙ 10 - 4 ∙ 10 ∙ 10,01 - 10 10 2 2

W = - 12,492   f t ∙ l b f

Já para achar a força, temos:

σ = F A

F = σ ∙ A Lembra que σ = C ∙ x - x 0 x 0 ?

F = C ∙ x - x 0 x 0 ∙ A

F = 360 ∙ 10 7 ∙ 10,01 - 10 10 6,94 ∙ 10 - 4

F = 2,498,4   l b f

Resposta

W = - C ∙ A ∙ x 0 ∙ ε 2 2

W = - 12,492   f t ∙ l b f

F = 2,498,4   l b f

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