Um gás em um conjunto cilindro-pistão passa por um processo de compressão no qual a relação entre a pressão e o volume é dada por p . V n = c o n s t a n t e . O volume inicial é de 0,1 m³, o volume final é de 0,04 m³ e a pressão final é de 2 bar. Determine a pressão inicial, em bar, e o trabalho para o processo, em kJ, se (a) n = 0, (b) n = 1 e (c) n = 1,3.

Passo 1

Vamos começar dando uma analisada no enunciado. O esquema de um conjunto cilindro-pistão que contém um gás é o seguinte:

Foi dito que esse conjunto aí de cima respeita a relação p . V n = c o n s t a n t e . E também foram fornecidos alguns dados:

p 2 = 2   b a r V 1 = 0,1   m ³ V 2 = 0,04   m ³

Com isso tudo organizados, vamos para os próximos passos.

Passo 2

Na letra (a) ele nos pede a pressão inicial, em bar, e o trabalho do processo, em kJ, na situação em que n = 0.

Nós temos a informação de que p . V n = c o n s t a n t e , se n = 0, teremos:

p .   V 0 = c o n s t a n t e p = c o n s t a n t e  

Se a pressão é constante, a pressão inicial é igual a pressão final. E a pressão final já temos!

p 1 = p 2

p 1 =   2   b a r

E agora qual o trabalho para o processo?

Temos que a fórmula do trabalho é:

W = ∫ V 1 V 2 p ∙ d V

Como nesse caso o p é constante, ele pode ir pra fora da integral:

W = p ∙ ∫ V 1 V 2 d V

Agora tá fácil né? Só integrar e correr pro abraço!

W = p ∙ V 2 - V 1

W = 2 ∙ ( 0,04 - 0,1 )

W =   - 0,12   b a r ∙ m ³

Lembra de passar bar.m³ para kJ, hein? Só multiplicar por 100!

W =   - 12   k J

Passo 3

Para a letra (b) vamos seguir o mesmo caminho da letra (a)! Mas se liga que agora n = 1 e para facilitar um pouco vamos chamar a constante de c.

p . V n = c p . V 1 = c p . V = c

Como o produto p.V é constante, temos:

p 1 ∙ V 1 = p 2 ∙ V 2

p 1 ∙ 0,1 = 2 ∙ 0,04

p 1 = 0,8   b a r

A pressão inicial já temos! Agora vamos achar o trabalho para o processo nessa situação:

W = ∫ V 1 V 2 p ∙ d V

Mas quem é p? Lembra, ali de cima, que p . V = c ?

Então:

p = c V

Então voltando para o trabalho:

W = ∫ V 1 V 2 c V ∙ d V W = c ∙ ∫ V 1 V 2 1 V ∙ d V

W = c ∙ ln ⁡ V 2 V 1

E agora, quem é c?

c = p . V = p 1 . V 1 = p 2 . V 2 = 0,08

Assim como V 1 = 0,1   m 3 e V 2 = 0,04   m ³

Então temos o trabalho como:

W = 0,08 ∙ ln ⁡ 0,04 0,1

W = - 0,0733   b a r . m ³

Lembrando mais uma vez de passar de bar.m³ para kJ, apenas multiplicando por 100! W =   - 7,33   k J

Passo 4

Para finalizar, na letra (c) vamos repetir só mais uma vez o que fizemos na letra (a) e (b). Só mais uma vez, prometo!

Mas agora temos n = 1,3. Vamos lá.

p . V n = c p . V 1,3 = c

Já adiantando, porque vamos precisar, temos:

p = c ∙ V - n

Guarda aí no cantinho essa equação que daqui a pouco vamos usar!

Para acharmos a pressão inicial, basta igualarmos os produtos:

p 1 . V 1 1,3 = p 2 . V 2 1,3

p 1 ∙ 0,1 1,3 = 2 ∙ 0,04 1,3

p 1 = 0,608   b a r

Até aqui tudo certo, já estamos craques! Agora vem o cálculo do trabalho:

W = ∫ V 1 V 2 p ∙ d V

Lembra que eu pedi pra você guardar uma equação? Agora é a hora!

W = ∫ V 1 V 2 c ∙ V - n ∙ d V

Agora vamos para os últimos cálculos:

W = c ∙ ∫ V 1 V 2 V - n ∙ d V W = c ∙ V 1 - n 1 - n V 1 V 2 W = c ∙ V 2 1 - n - V 1 1 - n 1 - n

Temos, por fim, que c = p 1 . V 1 1,3 = 0,0305 .

E agora é só substituir tudo que nós temos:

W = 0,0305 ∙ 0,04 - 0,3 - 0,1 - 0,3 - 0,3

W = - 0,0642   b a r ∙ m ³

Ufa! Falta só multiplicar por 100 para passarmos de bar.m³ para kJ e acabou!

W = - 6,42   k J

Resposta

a) p i = 2   b a r W =   - 12   k J

b) p i = 0,8   b a r W =   - 7,33   k J

c) p i = 0,608   b a r W =   - 6,42   k J

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