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Enunciado

Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 16

Mostre que beta = 3 alpha para um solido isotrópico.

Passo 1

Sabemos que beta é o coeficiente de expansão volumétrica e alpha é o coeficiente de expansão linear. Considerando um cubo de volume V_1 com dimensões l_1 , b_1 e h_1 com comprimento, largura e altura, respectivamente. Se levamos o cubo até uma temperatura T_2 , o cubo sofrerá uma expansão até um volume V_2 com parâmetros l_2 , b_2 e h_2 .

Para uma expansão lineal temos:

l_2 = l_1 ( 1 + alpha Delta T )

b_2 = b_1 ( 1 + alpha Delta T )

h_2 = h_1 ( 1 + alpha Delta T )

Calculando o volume do cubo ( V = l b h ),

V_2 = l_1 ( 1 + alpha Delta T ) * b_1 ( 1 + alpha Delta T ) * h_1 ( 1 + alpha Delta T )

V_2 = l_1 b_1 h_1 (1 + alpha Delta T)^3

V_2 = V_1 (1 + alpha Delta T)^3

Passo 2

Vamos resolver agora (1 + alpha Delta T)^3 , lembrando que (a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3

V_2 = V_1 [1 + 3 alpha Delta T + 3 ( alpha Delta T )^2 + ( alpha Delta T )^3]

Para os termos 3 ( alpha Delta T )^2 + ( alpha Delta T )^3 tildetilde 0 , então V_2 fica:

V_2 = V_1 [1 + 3 alpha Delta T]

V_2 = V_1 + 3 alpha Delta T

V_2 - V_1 = 3 alpha Delta T V_1

V_2 - V_1 é a variação do volume Delta V

Delta V = 3 alpha Delta T V_1

(1)/(V_1) (Delta V)/(Delta T) = 3 alpha

beta por definição é: beta = (1)/(V_1) (Delta V)/(Delta T)

Finalmente temos nossa demonstração feita:

beta = 3 alpha

Resposta

beta = 3 alpha

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