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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 126

Obtenha a Eq. 17–10 a partir da Eq. 17–9, utilizando a regra cíclica e as relações entre as propriedades termodinâmicas

c p T = ∂ s ∂ T p   e c v T = ∂ s ∂ T v

Passo 1

Primeiro de tudo, temos as seguintes equações

c 2 = ∂ P ∂ ρ s   e   c 2 = k ⋅ ∂ P ∂ ρ T

Temos que r = 1 / v → d r = - d v / v 2 , então,

c 2 = ∂ P ∂ ρ s = - v 2 ⋅ ∂ P ∂ v s = - v 2 ⋅ ∂ P ∂ T ⋅ ∂ T ∂ v s = - v 2 ⋅ ∂ P ∂ T s ⋅ ∂ T ∂ v s

Utilizando a regra cíclica vamos ter

P , T , s : ∂ P ∂ T s ⋅ ∂ T ∂ s P ⋅ ∂ s ∂ T T = - 1 → ∂ P ∂ T S = - ∂ s ∂ T P ⋅ ∂ P ∂ s T  

T , v , s : ∂ T ∂ v s ⋅ ∂ v ∂ s T ⋅ ∂ s ∂ T v = - 1 → ∂ T ∂ v s = - ∂ s ∂ s T ⋅ ∂ T ∂ s v

Substituindo nas equações para c 2 teremos

c 2 = - v 2 ⋅ ∂ s ∂ T P ⋅ ∂ P ∂ s T ⋅ ∂ s ∂ V T ⋅ ∂ T ∂ s v = - v 2 ⋅ ∂ s ∂ T P ⋅ ∂ T ∂ s v ⋅ ∂ P ∂ s T     i

Lembrando que

c p T = ∂ s ∂ T P   e     c v T = ∂ s ∂ T v

Substituindo em i vamos ter

c 2 = - v 2 ⋅ c p T ⋅ T c v ⋅ ∂ P ∂ v T = - v 2 k ⋅ ∂ P ∂ v T

Substituindo - d v / v 2 por d ρ

c 2 = k ⋅ ∂ P ∂ ρ T

Como nós queríamos demonstrar e está concluído nosso exercício.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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