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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 26

26 - O processo isentrópico de um gás ideal é expresso como P v k   =   c o n s t a n t e . Usando essa equação de processo e a definição da velocidade do som, obtenha a expressão da velocidade do som para um gás ideal.

Passo 1

Ora, sabemos que a equação da velocidade do som é dada pela equação...

c 2 = ∂ P ∂ ρ  

Onde ρ representa a densidade, nesse caso, do gás ideal. Como o processo é representado por P v k   =   c o n s t a n t e , chamando essa constante de A para simplificar os cálculos...

P v k = A

Vamos tentar então a partir dela achar uma equação que envolva o ρ ! Bora?

Passo 2

Isolando P naquela equação...

P = 1 v k ⋅ A   →

P = 1 v k ⋅ A   →

Ora, 1 / v é justamente para o gás ideal a densidade ρ !

P = ρ k ⋅ A

Podemos agora tomar a derivada então...

c 2 = ∂ P ∂ ρ   →

c 2 = ∂ ρ k ⋅ A ∂ ρ   →

Como A é constante...

c 2 = A ⋅ k ρ k - 1   →

Ora, ρ k - 1 = ρ k / ρ ...

c 2 = k A ρ k ρ   →

c 2 = k P ρ   →

E 1 / ρ é o volume v ...

c 2 = k P v   →

Como estamos considerando o processo isentrópico de um gás ideal, podemos trocar P v = R T ...

c 2 = k R T   →

c = k R T

Resposta

c = k R T

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