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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 86

Para β ≥ 0 , prove que, em cada ponto de uma região de fase única do diagrama h - s , a inclinação de uma linha de pressão constante ( P = c o n s t a n t e ) é maior que a inclicação de uma linha de temperatura constante ( T = c o n s t a n t e ) , porém menor que a inclinação de uma linha de volume constante ( ν = c o n s t a n t e ) .

Passo 1

Galera, usando a relação T   d s :

d h = T   d s + ν d P

Dividindo tudo por d s :

d h d s = T + ν d P d s

Se mantermos P constante, temos que d P d s = 0 . Logo,

∂ h ∂ s P = T

Mantendo agora T constante, temos que:

∂ h ∂ s T = T + ν ∂ P ∂ s T

Mas a quarta relação de Maxwell nos diz:

∂ P ∂ s T = - ∂ T ∂ ν P

Substituindo:

∂ h ∂ s T = T = ν ∂ T ∂ ν P = T - 1 β

Portanto, a inclinação de P = c t e é maior que a inclinação de T = c t e .

Passo 2

Vamos ver agora para o volume. Com ν constante, temos:

∂ h ∂ s ν = T + ν ∂ P ∂ s ν … ( 1 )

A relação d s , temos:

d s = c ν T d T + ∂ P ∂ T ν d ν

Dividindo tudo por d P mantendo ν constante:

d s d ν ν = c ν T ∂ T ∂ P ν

∂ P ∂ s ν = T c ν ∂ P ∂ T ν … ( 2 )

Usando as propriedades de P ,   T ,   ν , a relação cíclica pode ser expressa como:

∂ P ∂ T ν ∂ T ∂ ν P ∂ ν ∂ P T = - 1

∂ P ∂ T ν = - ∂ ν ∂ T P ∂ P ∂ ν T

∂ P ∂ T ν = - β ν 1 - α ν = β α … ( 3 )

Substituindo ( 2 ) e ( 3 ) na equação ( 1 ) :

∂ h ∂ s ν = T + ν ∂ P ∂ s ν = T + T β ν c ν α > T

Aqui, α é positivo para todas as fases de todas as substâncias. T é a temperatura abosluta que também é positiva, assim como c ν . Portanto, o segundo termo do lado esquerdo é sempre positivo, desde que β seja positivo. Portanto, podemos concluir que a inclinação de P = c t e é menor que a inclinação de ν = c t e .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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