Em regime permanente, uma câmara de mistura isolada recebe duas correntes de líquido da mesma substância nas temperaturas T 1 e T 2 e vazões mássicas m ˙ 1 e m ˙ 2 , respectivamente. Uma única corrente sai com uma temperatura T 3 e a uma vazão m ˙ 3 . Utilizando o modelo de substância incompressível com calor específico constante c , obtenha uma expressão para:

c) Para valores fixos de c e T 1 / T 2 , determine o valor de m ˙ 1 / m ˙ 3 para o qual a taxa de geração de entropia é máxima.

Passo 1

Letra c)

Para valores fixos de c e T 1 / T 2 .

Para finalizarmos o nosso exercício devemos determinar o valor de m ˙ 1 / m ˙ 3 para o qual a taxa de geração de entropia é máxima.

Derivando  σ ˙ m ˙ 3   (em função de x ) em relação a x :

d d x σ ˙ m ˙ 3 c ,     T 1 T 2 = - T 1 T 2 - x ln ⁡ T 1 T 2 1 + x T 1 T 2 - x + T 1 T 2 - x T 1 T 2 - 1 T 1 T 2 - x 1 + x T 1 T 2 - x

Igualando a zero:

T 1 T 2 - x - ln ⁡ T 1 T 2 1 + x T 1 T 2 - x + T 1 T 2 - 1 = 0

- ln ⁡ T 1 T 2 1 + x T 1 T 2 - x + T 1 T 2 - 1 = 0

Passo 2

Resolvendo a equação acima, obtemos  x :

ln ⁡ 1 + x T 1 T 2 - x = ln ⁡ T 1 T 2 + 1 - T 1 T 2

Aplicando exponencial:

1 + x T 1 T 2 - x = T 1 T 2 e 1 - T 1 T 2

Rearranjando:

x T 1 T 2 - x = T 1 T 2 e 1 - T 1 T 2 - 1

x T 1 T 2 - 1 = T 1 T 2 e 1 - T 1 T 2 - 1

x = T 1 T 2 e 1 - T 1 T 2 - 1 T 1 T 2 - 1

Passo 3

Por fim, voltando x :

m ˙ 1 m ˙ 3 = T 1 T 2 e 1 - T 1 T 2 - 1 T 1 T 2 - 1

Ufa, terminamos!

Até a próxima questão!

Resposta

c )   m ˙ 1 m ˙ 3 = T 1 T 2 e 1 - T 1 T 2 - 1 T 1 T 2 - 1

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