Um sistema isolado de massa total m é formado pela mistura de duas quantidades de massa iguais do mesmo líquido, inicialmente nas temperaturas T 1 e T 2 . Eventualmente, o sistema atinge um estado de equilíbrio. Cada quantidade de massa é considerada incompressível com calor específico c .

a) Mostre que a quantidade de entropia gerada é:

σ = m c ln ⁡ T 1 + T 2 2 T 1 T 2 1 2

b) Demonstre que σ deve ser positivo.

Passo 1

Vamos resolver então!

Letra a)

Começamos o nosso problema sabendo que o líquido é incompressível com calor específico constante,  c .

Aplicando um balanço de energia:

∆ U = Q - W

∆ U = 0

A temperatura final, T f , pode ser avaliada a partir da equação do balanço de energia:

m u T f - m 2 u T 1 + m 2 u T 2 = 0

m 2 u T f - u T 1 + m 2 u T f - u T 2 = 0

m c 2 T f - T 1 + T f - T 2 = 0

Aplicando um balanço de equilíbrio de entropia:

∆ s = d Q T b + σ

Sendo:

Q = 0

Temos:

σ = ∆ s

σ = m s f - m 2 s 1 + m 2 s 2

σ = m 2 s f - s 1 + s f - s 2

Passo 2

Utilizando as nossas duas equações obtidas juntas:

σ = m c 2 ln ⁡ T f T 1 + ln ⁡ T f T 2

σ = m c 2 ln ⁡ T f 2 T 1 T 2

σ = m c 2 ln ⁡ T f T 1 T 2 1 2

Sendo:

T f = T 1 + T 2 2

Por fim:

σ = m c ln ⁡ T 1 + T 2 2 T 1 T 2 1 2

Passo 3

Letra b)

Demonstrando que σ deve ser positivo:

σ = m c ln ⁡ T 1 + T 2 2 T 1 T 2 1 2 ≥ 0 Simplificando:

ln ⁡ T 1 + T 2 2 T 1 T 2 1 2 ≥ 0

Então:

T 1 + T 2 2 T 1 T 2 1 2 ≥ 1

T 1 + T 2 ≥ 2 T 1 T 2 1 2

Elevando ao quadrado em ambos os lados, obtemos:

T 1 2 + 2 T 1 T 2 + T 2 2 ≥ 4 T 1 T 2

T 1 2 - 2 T 1 T 2 + T 2 2 ≥ 0

T 1 - T 2 2 ≥ 0

A equação é satisfeita tanto para T 1 > T 2 , T 2 > T 1 , quanto para T 1 = T 2 .

Resposta

a )   σ = m c ln ⁡ T 1 + T 2 2 T 1 T 2 1 2

b )   A   e q u a ç ã o   é   s a t i s f e i t a   t a n t o   p a r a   T 1 > T 2 ,   T 2 > T 1 ,   q u a n t o   p a r a   T 1 = T 2

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