A temperatura de uma substância incompressível de massa m e calor específico c é reduzida a partir de T 0 para T < T 0 por um ciclo de refrigeração. O ciclo recebe energia sob a forma de calor à temperatura T da substânica e rejeita energia sob a forma de calor a T 0 para a vizinhança. Não ocorrem outras formas de transferência de calor. Represente graficamente ( W m í n / m c T 0 ) em função de T / T 0 variando de 0,8 a 1,0, em que W m í n representa o trabalho teórico mínimo requerido pelo ciclo.

Passo 1

E aí, bora resolver essa questão juntos?

Se ajeita aí e vamos lá!

Começamos o nosso problema aplicando um balanço de energia para um sistema fechado:

Q = ∆ U + W

Substituindo:

∆ U = m c T - T 0

Temos:

Q = m c T - T 0 + W

Aplicando um balanço de equilíbrio de entropia:

∆ s = Q T 0 + σ

Substituindo:

∆ s = m c ln ⁡ T T 0

Temos:

m c ln ⁡ T T 0 = Q T 0 + σ

Desse modo, obtemos:

Q = T 0 m c ln ⁡ T T 0 - T 0 σ

Passo 2

Igualando o balanço de energia ao balanço de equilíbrio de entropia:

m c T - T 0 + W = T 0 m c ln ⁡ T T 0 - T 0 σ

- W = m c T - T 0 - T 0 m c ln ⁡ T T 0 + T 0 σ

Sendo σ ≥ 0 , o trabalho teórico mínimo requerido pelo ciclo corresponde a σ = 0 .

O sinal negativo da obra representa que a obra é entregue ao sistema.

Assim, escrevendo a expressão para o mínimo de trabalho:

W m í n = m c T - T 0 - T 0 m c ln ⁡ T T 0

W m í n = m c T - T 0 - T 0 ln ⁡ T T 0

Rearranjando:

W m í n m c T 0 = T T 0 - 1 - ln ⁡ T T 0

Passo 3

Traçando o gráfico para ( W m í n / m c T 0 ) em função de T / T 0 variando de 0,8 a 1,0:

Resposta

W m í n m c T 0 = T T 0 - 1 - ln ⁡ T T 0

G r á f i c o

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