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Enunciado

Termodinâmica - Moran e Shapiro - Princípios de Termodinâmica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 11

Um volante em formato de disco, de massa específica uniforme ρ , raio externo R e espessura w , gira com uma velocidade angular ω , em rad/s. (a) Mostre que o momento de inércia, I =   ∫ v o l ρ r 2 d V , pode ser expresso como I = π ρ w   R 4 / 2 , e a energia cinética pode ser expressa como E C = I ω 2 / 2 . (b) Para um volante de aço girando a 3000 RPM, determine a energia cinética, em N ⋅ m, e a massa, em kg, se R = 0,38 m e w = 0,025 m. (c) Determine o raio, em m, e a massa , em kg, de um volante de alumínio que tem a mesma largura, velocidade angular e energia cinética do item (b).

Passo 1

Vamos resolver mais essa pessoal. Primeira coisa que temos que fazer é a expressão para o momento de inércia do volante, que tem formato de disco. Para isso, vamos usar a equação

I = ∫ v o l ρ r 2 d V

Para o disco, o elemento de volume é d V = 2 π w r d r . Como ρ e w são constantes, o momento de inércia para o volante, com raio R é

I = 2 ρ π w ∫ 0 R r 3 d r = 2 ρ π w R 4 4 - 0 4 4 = ρ π w R 4 2    

Para a energia cinética, temos que

E C = ∫ v o l 1 2 ρ v 2 d V

Onde v = r ω . Como dV é o mesmo, a energia cinética do volante é

E C = ∫ 0 R 1 2 ρ r 2 ω 2 2 π w r d r = 1 2 2 π ρ ω 2 w ∫ 0 R r 3 d r

E C = 1 2 ρ π w R 4 2 ω 2 = 1 2 I ω 2

Passo 2

Agora vamos calcular a massa e a energia cinética do volante. A massa pode ser obtida por

m = ρ V

De acordo com a Tabela A-19 do livro, a massa específica do aço é 8060 kg/m³. Logo,

m = ρ w π R 2 = 8060 ⋅ 0 , 0 25 ⋅ π ⋅ 0,38 2 = 91,41   k g

O momento de inércia do volante é

I = ρ π w R 4 2 = 8060 ⋅ π ⋅ 0,025 ⋅ 0,38 4 2 = 6,6   k g ⋅ m 2

Dessa forma, a energia cinética do volante é

E C = 1 2 I ω 2 = 1 2 ⋅ 6,6 3000 ⋅ 2 π 60 2 = 32,57 × 10 4   N ⋅ m

Passo 3

Agora vamos mudar o material do volante para alumínio, mas com a mesma largura, velocidade angular e energia cinética do volante de alumínio. Como a energia cinética é a mesma

E C A l = E C A ç o

1 2 I ω 2 A l = 1 2 I ω 2 A ç o

Como a velocidade angular para os dois volantes é a mesma, logo

I A l = I A ç o

ρ π w R 4 2 A l = ρ π w R 4 2 A ç o

ρ A l R A l 4 = ρ A ç o R A ç o 4

R A l = ρ a ç o ρ A l 1 4 R a ç o

De acordo com a Tabela A-19 do livro, a massa específica do alumínio é 2700 kg/m³. Assim,

R A l = 8060 2700 1 4 ⋅ 0,38 = 0,5   m

A massa do volante de alumínio é

m = ρ V = ρ w π R 2 = 2700 ⋅ 0 , 0 25 ⋅ π ⋅ 0,5 2 = 53,01   k g  

Resposta

(b) m = 91,41 kg; EC = 32,57 × 10 4   N ⋅ m

(c) R = 0,5 m; m = 53,01 kg

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