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Exercícios Resolvidos de Adams Moulton

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Exercício 41235

Enunciado

Resolva o problema de valor inicial dado por:

u ' t = - 2 u t + t e - t

u 0 = - 1

Via Adams-Moulton s = 2 com h = 0,1   e   h = 0,01 .

Passo 1

Basicamente, vamos começar a construção:

u ( n + 3 ) = u ( n + 2 ) + ∫ t ( n + 3 ) t ( n + 4 ) f t , u t d t

u n + 3 = u n + 2 + h ∑ m = 0 3 b m f n + m

u ( n + 3 ) = u n + 2 + h ( b 3 f n + 3 + b 2 f n + 2 + b 3 f n + 1 + b 0 f ( n )

Para isso, devemos obter os coeficientes [ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] para que o método seja exato em polinômios de até ordem 3. Podemos obter os coeficientes de forma análoga a obter os coeficientes de um método de integração.

Passo 2

Supondo que os espaços sejam igualmente espaçados, nosso intervalo de integração é de [ t ( n + 2 ) ,   t ( n + 3 ) ] , no qual teremos uma origem t n , t n + 1 … t n + 3 = [ - 2 h , - h , 0 , h ] .

Vamos considerar como base [ 1 , t , t 2 , t 3 ] e substitua f ( t ) por cada um dos elementos da base. Assim, obtemos:

∫ 0 h 1 d t = h = h ( b 0 1 + b 1 1 + b 2 1 + b 3 1 )

∫ 0 h t d t = h 2 2 = h ( b 0 h + b 1 0 + b 2 - h + b 3 - 2 h )

∫ 0 h t 2 d t = h 3 3 = h ( b 0 h 2 + b 1 0 2 + b 2 - h 2 + b 3 - 2 h 2 )

∫ 0 h t 3 d t = h 4 4 = h ( b 0 h 3 + b 1 0 3 + b 2 - h 3 + b 3 - 2 h 3 )

Na forma matricial:

1 0 1 1 1 0 - 1 - 2 1 0 1 4 1 0 - 1 - 8 b 0 b 1 b 2 b 3 = 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4

Resolvendo o sistema (fazer por Eliminação de Gauss):

[ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] = 1 24 ;   - 5 24 , 19 24 , 9 24

Resposta

[ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] = 1 24 ;   - 5 24 , 19 24 , 9 24