Teoria

Introdução

Fala meu jovem, tudo certinho??

Vamos ver mais um assunto que deixa todo mundo de cabelo em pé.

Sim, ainda estamos falando de EDO e Problema de Valor Inicial (PVI).

Maaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaas. Cabe relembrar que os métodos numéricos para determinar a solução de um PVI podem ser divididos em duas classes:

  • Método de passo simples (alguns dos métodos nós já vimos aqui).
  • Que basicamente são métodos que necessitam apenas de um valor para estimar a solução em cada intervalo de tempo. Um exemplo disso são os métodos de Euler, Taylor e Runge-Kutta (e pra esses já tivemos alguns estudos, então vamos lá).

  • Métodos de passo múltiplo, e é sobre isso que vamos focar nesse capítulo!!!!!!

Basicamente, o método de passo múltiplo começa partindo de um ponto inicial, que leva para um passo a frente no tempo e ajuda a encontrar o próximo ponto da solução. Esses métodos tentam ganharam eficiência usando aquilo que foi encontrado na etapa anterior – em casos lineares são feitas combinações lineares dos pontos anteriores e etc.

Sobre o método

Falamos sobre PVI e os métodos de resolução, mas... o que é que tem a ver???

O método de Adams-Moulton é um método de passo múltiplo implícito e os valores de f ( t , u ) , nos passos n , n + 1 ,   … ,   n + s - 1 e n + s é usado para calcular f em t ( n + s ) .

Considere o PVI:

u ' t = f t , u t

u t 0 = a

Iremos integrar no intervalo t ( n + s - 1 ) e   t ( n + s ) . Aí, obtemos:

u ( n + s ) = u ( n + s - 1 ) + ∫ t n + s - 1 t n + s f t , u t d t

Podemos integrar pelo polinômio interpolador de f t k , u k ficando mais ou menos assim:

u ( n + s ) = u ( n + s - 1 ) + ∫ t n + s - 1 t n + s p ( t ) d t = ∫ t n + s - 1 t n + s f t n , u n t - t n - 1 t n - t n - 1 + f ( t n - 1 , u n - 1 ) t - t n t n - 1 - t n d t

E esse polinômio p ( t ) de grau s , pode ser dado por Lagrange! Integrando e simplificando:

= 1 2 t n + t n + 1 - 2 t n - 1 f t n , u n + 1 2 2 t n - t n + 1 - t n f ( t n - 1 , u n - 1 )

u ( t n + 1 ) ≈ u ( t n ) + 3 2 h f ( t n , u n ) - 1 2 h f ( t n - 1 , u n - 1 )

Desde que os passos sejam igualmente espaçados. Os métodos implícitos geralmente são obtidos quando se utiliza os pontos:

x n + 1 , x n , x n - 1 , … , x n - m

m = 2 → x n + 1 , u n + 1 ; x n , u n ; x n - 1 , u n - 1 ; ( x n - 2 ; u n - 2 )

∫ t n + s - 1 t n + s p ( t ) d t = h ∑ j = 0 s β j f ( t n + 1 , u n + j )

β j = 1 h ∫ t n + s - 1 t n + s ∏ k = 0 , k ≠ j s t - t ( n + k ) t ( n + j ) - t ( n + k ) d t

A relação de recorrência se torna:

u ( n + s ) = u ( n + s - 1 ) + h ∑ j = 0 s β j f ( t n + j , u n + j )

Basicamente é isso, bora fazer exercícios para fixar o conteúdo?

Sobre o método