Adams Moulton
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Introdução
Fala meu jovem, tudo certinho??
Vamos ver mais um assunto que deixa todo mundo de cabelo em pé.
Sim, ainda estamos falando de EDO e Problema de Valor Inicial (PVI).
Maaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaas. Cabe relembrar que os métodos numéricos para determinar a solução de um PVI podem ser divididos em duas classes:
- Método de passo simples (alguns dos métodos nós já vimos aqui).
- Métodos de passo múltiplo, e é sobre isso que vamos focar nesse capítulo!!!!!!
Que basicamente são métodos que necessitam apenas de um valor para estimar a solução em cada intervalo de tempo. Um exemplo disso são os métodos de Euler, Taylor e Runge-Kutta (e pra esses já tivemos alguns estudos, então vamos lá).
Basicamente, o método de passo múltiplo começa partindo de um ponto inicial, que leva para um passo a frente no tempo e ajuda a encontrar o próximo ponto da solução. Esses métodos tentam ganharam eficiência usando aquilo que foi encontrado na etapa anterior – em casos lineares são feitas combinações lineares dos pontos anteriores e etc.
Sobre o método
Falamos sobre PVI e os métodos de resolução, mas... o que é que tem a ver???
O método de Adams-Moulton é um método de passo múltiplo implícito e os valores de , nos passos , e é usado para calcular em .
Considere o PVI:
Iremos integrar no intervalo . Aí, obtemos:
Podemos integrar pelo polinômio interpolador de ficando mais ou menos assim:
E esse polinômio de grau , pode ser dado por Lagrange! Integrando e simplificando:
Desde que os passos sejam igualmente espaçados. Os métodos implícitos geralmente são obtidos quando se utiliza os pontos:
A relação de recorrência se torna:
Basicamente é isso, bora fazer exercícios para fixar o conteúdo?