Adams Moulton
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Introdução
Fala meu jovem, tudo certinho??
Vamos ver mais um assunto que deixa todo mundo de cabelo em pé.
Sim, ainda estamos falando de EDO e Problema de Valor Inicial (PVI).
Maaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaas. Cabe relembrar que os métodos numéricos para determinar a solução de um PVI podem ser divididos em duas classes:
- Método de passo simples (alguns dos métodos nós já vimos aqui).
- Métodos de passo múltiplo, e é sobre isso que vamos focar nesse capítulo!!!!!!
Que basicamente são métodos que necessitam apenas de um valor para estimar a solução em cada intervalo de tempo. Um exemplo disso são os métodos de Euler, Taylor e Runge-Kutta (e pra esses já tivemos alguns estudos, então vamos lá).
Basicamente, o método de passo múltiplo começa partindo de um ponto inicial, que leva para um passo a frente no tempo e ajuda a encontrar o próximo ponto da solução. Esses métodos tentam ganharam eficiência usando aquilo que foi encontrado na etapa anterior – em casos lineares são feitas combinações lineares dos pontos anteriores e etc.
Sobre o método
Falamos sobre PVI e os métodos de resolução, mas... o que é que tem a ver???
O método de Adams-Moulton é um método de passo múltiplo implícito e os valores de , nos passos , e é usado para calcular em .
Considere o PVI:
Iremos integrar no intervalo . Aí, obtemos:
Podemos integrar pelo polinômio interpolador de ficando mais ou menos assim:
E esse polinômio de grau , pode ser dado por Lagrange! Integrando e simplificando:
Desde que os passos sejam igualmente espaçados. Os métodos implícitos geralmente são obtidos quando se utiliza os pontos:
A relação de recorrência se torna:
Basicamente é isso, bora fazer exercícios para fixar o conteúdo?
Sobre o método
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Adaptado do material da UFRGS – Departamento Reamat de Cálculo Numérico, Método de Adams-Moulton
Encontre o método de Adams-Moulton para .
Passo 1
Basicamente, vamos começar a construção:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Adaptado do material da UFRGS – Departamento Reamat de Cálculo Numérico, Método de Adams-Moulton
Encontre [] com o método de Adams-Moulton para .
Passo 1
Basicamente, vamos começar a construção:
Para isso, devemos obter os coeficientes [] para que o método seja exato em polinômios de até ordem 3. Podemos obter os coeficientes de forma análoga a obter os coeficientes de um método de integração.
Passo 2
Supondo que os espaços sejam igualmente espaçados, nosso intervalo de integração é de , no qual teremos uma origem .
Vamos considerar como base e substitua por cada um dos elementos da base. Assim, obtemos:
Na forma matricial:
Resolvendo o sistema (fazer por Eliminação de Gauss):
Resposta
Exercício Resolvido #3
Adaptado do material da UFRGS – Departamento Reamat de Cálculo Numérico, Método de Adams-Moulton
Resolva o problema de valor inicial dado por:
Via Adams-Moulton com .
Passo 1
Basicamente, vamos começar a construção:
Para isso, devemos obter os coeficientes [] para que o método seja exato em polinômios de até ordem 3. Podemos obter os coeficientes de forma análoga a obter os coeficientes de um método de integração.
Passo 2
Supondo que os espaços sejam igualmente espaçados, nosso intervalo de integração é de , no qual teremos uma origem .
Vamos considerar como base e substitua por cada um dos elementos da base. Assim, obtemos:
Na forma matricial:
Resolvendo o sistema (fazer por Eliminação de Gauss):
Resposta
Exercício Resolvido #4
Adaptado do material da UFRGS – Departamento Reamat de Cálculo Numérico, Método de Adams-Moulton
Defina as entradas e saídas necessárias para a implementação de um algoritmo computacional para o método de Adams-Moulton:
Passo 1
Inicialmente, são feitas algumas definições como o tamanho máximo a ser atingido, o número de passos e as incógnitas t e u presentes na fórmula.
def adams_moulton_2(h,Tmax,u1): itmax=np.int(Tmax/h) u=np.empty((itmax+1,1)) u[0]=u1
Passo 2
Como o programa, visa solucionar uma EDO de PVI, devemos obter um resultado numérico aplicado aos pontos fornecidos.
Resposta
Entradas: t, u, h
Saídas: valor
Exercício Resolvido #5
Capítulo 3 - EDO com condição inicial. Cálculo numérico para Engenharia Química.
Por que dois tipos de métodos de passo múltiplo para resolução de EDO, quais são e esses métodos?
Passo 1
Os métodos existentes são os implícitos e explicitos.
Passo 2
Os métodos implícitos pode exigir solução de equação algébrica a cada iteração! Normalmente estável.
Os métodos explícitos são diretos e basta calcular o segundo membro da equação. Normalmente instável se h for grande.