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Adams Moulton

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Teoria

Introdução

Fala meu jovem, tudo certinho??

Vamos ver mais um assunto que deixa todo mundo de cabelo em pé.

Sim, ainda estamos falando de EDO e Problema de Valor Inicial (PVI).

Maaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaas. Cabe relembrar que os métodos numéricos para determinar a solução de um PVI podem ser divididos em duas classes:

  • Método de passo simples (alguns dos métodos nós já vimos aqui).

    • Que basicamente são métodos que necessitam apenas de um valor para estimar a solução em cada intervalo de tempo. Um exemplo disso são os métodos de Euler, Taylor e Runge-Kutta (e pra esses já tivemos alguns estudos, então vamos lá).

  • Métodos de passo múltiplo, e é sobre isso que vamos focar nesse capítulo!!!!!!

Basicamente, o método de passo múltiplo começa partindo de um ponto inicial, que leva para um passo a frente no tempo e ajuda a encontrar o próximo ponto da solução. Esses métodos tentam ganharam eficiência usando aquilo que foi encontrado na etapa anterior – em casos lineares são feitas combinações lineares dos pontos anteriores e etc.

Sobre o método

Falamos sobre PVI e os métodos de resolução, mas... o que é que tem a ver???

O método de Adams-Moulton é um método de passo múltiplo implícito e os valores de f ( t , u ) , nos passos n , n + 1 ,   … ,   n + s - 1 e n + s é usado para calcular f em t ( n + s ) .

Considere o PVI:

u ' t = f t , u t

u t 0 = a

Iremos integrar no intervalo t ( n + s - 1 ) e   t ( n + s ) . Aí, obtemos:

u ( n + s ) = u ( n + s - 1 ) + ∫ t n + s - 1 t n + s f t , u t d t

Podemos integrar pelo polinômio interpolador de f t k , u k ficando mais ou menos assim:

u ( n + s ) = u ( n + s - 1 ) + ∫ t n + s - 1 t n + s p ( t ) d t = ∫ t n + s - 1 t n + s f t n , u n t - t n - 1 t n - t n - 1 + f ( t n - 1 , u n - 1 ) t - t n t n - 1 - t n d t

E esse polinômio p ( t ) de grau s , pode ser dado por Lagrange! Integrando e simplificando:

= 1 2 t n + t n + 1 - 2 t n - 1 f t n , u n + 1 2 2 t n - t n + 1 - t n f ( t n - 1 , u n - 1 )

u ( t n + 1 ) ≈ u ( t n ) + 3 2 h f ( t n , u n ) - 1 2 h f ( t n - 1 , u n - 1 )

Desde que os passos sejam igualmente espaçados. Os métodos implícitos geralmente são obtidos quando se utiliza os pontos:

x n + 1 , x n , x n - 1 , … , x n - m

m = 2 → x n + 1 , u n + 1 ; x n , u n ; x n - 1 , u n - 1 ; ( x n - 2 ; u n - 2 )

∫ t n + s - 1 t n + s p ( t ) d t = h ∑ j = 0 s β j f ( t n + 1 , u n + j )

β j = 1 h ∫ t n + s - 1 t n + s ∏ k = 0 , k ≠ j s t - t ( n + k ) t ( n + j ) - t ( n + k ) d t

A relação de recorrência se torna:

u ( n + s ) = u ( n + s - 1 ) + h ∑ j = 0 s β j f ( t n + j , u n + j )

Basicamente é isso, bora fazer exercícios para fixar o conteúdo?

Sobre o método

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Adaptado do material da UFRGS – Departamento Reamat de Cálculo Numérico, Método de Adams-Moulton

Encontre o método de Adams-Moulton para s = 0 .

Passo 1

Basicamente, vamos começar a construção:

u ( n ) = u ( n ) + ∫ t 0 t n + 1 f t , u t d t

u n = u n + h ∑ m = 0 n + 1 b m f n + m

y ( n ) = y n + h f ( t n , u ( t n )

Resposta

y ( n ) = y n + h f ( t n , u ( t n )

Exercício Resolvido #2

Adaptado do material da UFRGS – Departamento Reamat de Cálculo Numérico, Método de Adams-Moulton

Encontre [ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] com o método de Adams-Moulton para s = 3 .

Passo 1

Basicamente, vamos começar a construção:

u ( n + 3 ) = u ( n + 2 ) + ∫ t ( n + 3 ) t ( n + 4 ) f t , u t d t

u n + 3 = u n + 2 + h ∑ m = 0 3 b m f n + m

u ( n + 3 ) = u n + 2 + h ( b 3 f n + 3 + b 2 f n + 2 + b 3 f n + 1 + b 0 f n )

Para isso, devemos obter os coeficientes [ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] para que o método seja exato em polinômios de até ordem 3. Podemos obter os coeficientes de forma análoga a obter os coeficientes de um método de integração.

Passo 2

Supondo que os espaços sejam igualmente espaçados, nosso intervalo de integração é de [ t ( n + 2 ) ,   t ( n + 3 ) ] , no qual teremos uma origem t n , t n + 1 … t n + 3 = [ - 2 h , - h , 0 , h ] .

Vamos considerar como base [ 1 , t , t 2 , t 3 ] e substitua f ( t ) por cada um dos elementos da base. Assim, obtemos:

∫ 0 h 1 d t = h = h ( b 0 1 + b 1 1 + b 2 1 + b 3 1 )

∫ 0 h t d t = h 2 2 = h ( b 0 h + b 1 0 + b 2 - h + b 3 - 2 h )

∫ 0 h t 2 d t = h 3 3 = h ( b 0 h 2 + b 1 0 2 + b 2 - h 2 + b 3 - 2 h 2 )

∫ 0 h t 3 d t = h 4 4 = h ( b 0 h 3 + b 1 0 3 + b 2 - h 3 + b 3 - 2 h 3 )

Na forma matricial:

1 0 1 1 1 0 - 1 - 2 1 0 1 4 1 0 - 1 - 8 b 0 b 1 b 2 b 3 = 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4

Resolvendo o sistema (fazer por Eliminação de Gauss):

[ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] = 1 24 ;   - 5 24 , 19 24 , 9 24

Resposta

[ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] = 1 24 ;   - 5 24 , 19 24 , 9 24

Exercício Resolvido #3

Adaptado do material da UFRGS – Departamento Reamat de Cálculo Numérico, Método de Adams-Moulton

Resolva o problema de valor inicial dado por:

u ' t = - 2 u t + t e - t

u 0 = - 1

Via Adams-Moulton s = 2 com h = 0,1   e   h = 0,01 .

Passo 1

Basicamente, vamos começar a construção:

u ( n + 3 ) = u ( n + 2 ) + ∫ t ( n + 3 ) t ( n + 4 ) f t , u t d t

u n + 3 = u n + 2 + h ∑ m = 0 3 b m f n + m

u ( n + 3 ) = u n + 2 + h ( b 3 f n + 3 + b 2 f n + 2 + b 3 f n + 1 + b 0 f ( n )

Para isso, devemos obter os coeficientes [ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] para que o método seja exato em polinômios de até ordem 3. Podemos obter os coeficientes de forma análoga a obter os coeficientes de um método de integração.

Passo 2

Supondo que os espaços sejam igualmente espaçados, nosso intervalo de integração é de [ t ( n + 2 ) ,   t ( n + 3 ) ] , no qual teremos uma origem t n , t n + 1 … t n + 3 = [ - 2 h , - h , 0 , h ] .

Vamos considerar como base [ 1 , t , t 2 , t 3 ] e substitua f ( t ) por cada um dos elementos da base. Assim, obtemos:

∫ 0 h 1 d t = h = h ( b 0 1 + b 1 1 + b 2 1 + b 3 1 )

∫ 0 h t d t = h 2 2 = h ( b 0 h + b 1 0 + b 2 - h + b 3 - 2 h )

∫ 0 h t 2 d t = h 3 3 = h ( b 0 h 2 + b 1 0 2 + b 2 - h 2 + b 3 - 2 h 2 )

∫ 0 h t 3 d t = h 4 4 = h ( b 0 h 3 + b 1 0 3 + b 2 - h 3 + b 3 - 2 h 3 )

Na forma matricial:

1 0 1 1 1 0 - 1 - 2 1 0 1 4 1 0 - 1 - 8 b 0 b 1 b 2 b 3 = 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4

Resolvendo o sistema (fazer por Eliminação de Gauss):

[ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] = 1 24 ;   - 5 24 , 19 24 , 9 24

Resposta

[ b 0 ,   b 1 , b 2 , b 3 ] = 1 24 ;   - 5 24 , 19 24 , 9 24

Exercício Resolvido #4

Adaptado do material da UFRGS – Departamento Reamat de Cálculo Numérico, Método de Adams-Moulton

Defina as entradas e saídas necessárias para a implementação de um algoritmo computacional para o método de Adams-Moulton:

Passo 1

Inicialmente, são feitas algumas definições como o tamanho máximo a ser atingido, o número de passos e as incógnitas t e u presentes na fórmula.

def adams_moulton_2(h,Tmax,u1):  itmax=np.int(Tmax/h)  u=np.empty((itmax+1,1))  u[0]=u1

Passo 2

Como o programa, visa solucionar uma EDO de PVI, devemos obter um resultado numérico aplicado aos pontos fornecidos.

Resposta

Entradas: t, u, h

Saídas: valor

Exercício Resolvido #5

Capítulo 3 - EDO com condição inicial. Cálculo numérico para Engenharia Química.

Por que dois tipos de métodos de passo múltiplo para resolução de EDO, quais são e esses métodos?

Passo 1

Os métodos existentes são os implícitos e explicitos.

Passo 2

Os métodos implícitos pode exigir solução de equação algébrica a cada iteração! Normalmente estável.

Os métodos explícitos são diretos e basta calcular o segundo membro da equação. Normalmente instável se h for grande.

Resposta