Teoria
Faaala, Aí! Vamos aprender aqui sobre as bases dos nossos espaços vetoriais. Olha, a gente já consegue ter alguma coisa em mente se pensarmos que o espaço vetorial é alguma construção e como toda construção, nós temos uma base! Então, todos os elementos de um espaço vetorial podem ser construído a partir de sua base... Essa é a ideia!
Vamos refinar esse conceito para conseguirmos trabalhar melhor isso!!
Introdução
Galera, a partir de toda essa ideia de construção a gente consegue aprimorar um pouco e trazer mais para perto esse conceito do que a gente conhece dos espaços vetoriais. A gente chama de base o conjunto de vetores de algum espaço vetorial aos quais qualquer outro vetor de possa ser escrito como combinação linear desses vetores.
Olha só, vamos ver um exemplo aqui que vai nos ajudar a entender isso.
O conjunto de vetores é uma do espaço vetorial . Só para a gente não se perder, esse espaço vetorial é o espaço de todos os vetores de três componentes (é o espaço tridimensional). Qualquer vetor nele é da forma .
A gente vai conseguir ver que qualquer vetor do pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Vamos começar pensando em um vetor qualquer de três componentes. Eu escolhi esse aqui . Será que ele pode ser escrito como combinação linear daqueles vetores ali?
Vamos lembrar o que eu estou querendo dizer com essa combinação linear. Se o vetor for uma combinação linear daqueles vetores, eu vou conseguir achar um e um que satisfaçam essa relação aqui:
Se realizarmos os produtos que aparecem ali, ficamos com
Somando cada os números que estão na mesma posição nos parêntesis, temos
Então ficamos com uma igualdade entre vetores. Lembrando que dois vetores só são iguais se todas as suas componentes forem iguais, ficamos com:
Ou seja, a gente consegue escrever o nosso vetor como sendo a combinação:
Bem, isso foi para um vetor só, será que eu consigo fazer para qualquer um? Você pode ver que em nosso exemplo as componentes do vetor () já apresentavam aqueles coeficientes e da combinação linear. Isso vai valer para qualquer vetor nesse espaço. Por exemplo, para um vetor vamos ter e e por aí vai. Então, sim, esse conjunto consegue gerar todos os vetores do espaço vetorial . Apesar disso, a gente ainda não pode afirmar que esse conjunto é uma base de , precisamos conhecer quais são as condições para um conjunto ser uma base!
Condições para um conjunto ser uma Base Vetorial
Vamos ver agora as regrinhas que um conjunto de vetores deve respeitar para que seja uma base de um espaço vetorial qualquer:
- Esses vetores têm que ser linearmente independentes, ou seja, nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear de outros vetores desse conjunto;
- Qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores desse conjunto (quando isso acontece, dizemos que os vetores do conjunto geram o espaço ).
Um conceito muito importante que surge quando falamos das bases é o conceito de dimensão de um espaço vetorial. A dimensão é dada pelo número de vetores da base do espaço. Em nosso exemplo anterior, tínhamos três vetores a gente ainda vai verificar se esse conjunto é uma base mas caso seja, o espaço possui dimensão igual a três.
Vem comigo ver como que isso tudo funciona na prática?
Vamos voltar para o nosso exemplo. A gente viu que o conjunto gerava o o que bate com a segunda regra para um conjunto ser uma base vetorial. Temos que verificar agora se esse conjunto é linearmente independente.
Um dos testes que a gente usa para ver se um conjunto de vetores é LI ou LD é colocar esses vetores como sendo as linhas de uma matriz. Assim, ó:
Feito isso, a gente tem que escalonar a matriz que surgir. OPA! Nesse exemplo a matriz já veio escalonadinha... que delícia!
Com a matriz escalonada a gente vê se possuímos linhas nulas, se sim, o conjunto é LD. Se não, o conjunto é LI. Assim, olhando a nossa matriz, concluímos que esse conjunto é LI e, portanto, é uma base do espaço .
Conferindo bases nos espaço das matrizes
A gente vai ver agora como que a gente verificar se o conjunto logo abaixo é uma base do espaço vetorial (o espalho vetorial de todas as matrizes ).
Vamos lá!!
Vamos começar vendo se esse conjunto é linearmente independente. Eu vou ensinar aqui uma técnica para conferir essa condição que vale sempre. Então vem comigo!
É o seguinte, vamos ter que escrever uma combinação linear desses vetores da forma que a gente sempre tem feito:
Feito isso, a gente vai ter que achar um e um que façam com que essa soma seja igual ao vetor nulo de (uma matriz que contenha todos os seus elementos iguais a zero):
Vamos realizar os produtos que aparecem no lado esquerdo dessa igualdade. Fazemos isso multiplicando todos os elementos das matrizes pela letra que aparece multiplicando-as:
Agora, para fazer essas somas, a gente soma somente os carinhas que estão na mesma posição em todas as matrizes:
Agora a gente avalia essa igualdade. Duas matrizes são iguais apenas se cada um dos seus elementos forem iguais. Por essa igualdade temos que:
E achamos os valor de e para que a combinação linear seja igual ao vetor nulo. A gente fez tudo isso para verificar esses valores. Se a única maneira dessa combinação linear ser igual ao vetor nulo for , o conjunto é dito L.I., se encontrássemos qualquer outra coisa, o conjunto seria L.D.. Como a gente achou que todos os coeficientes têm de ser iguais a zero, o conjunto é linearmente independente!! Primeira condição para ser uma base, check!
Antes de irmos para a segunda condição, deixa só eu deixar aqui a forma geral desse método que eu ensinei para verificar se um conjunto de vetores é L.I. ou L.D.. Dado um conjunto de vetores (podiam ter quantos vetores o problema pedir), esse conjunto vai ser dito L.I. apenas se a única maneira da combinação linear:
For com . Caso contrário, o conjunto é dito L.D.
Leva para o coração esse métodos pois é muito útil para as matrizes!!
Voltando ao nosso problema, vamos verificar agora se o conjunto gera o espaço . Vamos lá, o que queremos ver é se uma matriz qualquer
Pode ser escrita como sendo uma combinação linear dos vetores do conjunto . Ou seja, quais os valores de e de que nos permitem escrever:
Como vimos anteriormente, o lado direito dessa igualdade pode ser calculado e obtemos:
Lembrando que duas matrizes são iguais apenas se cada um dos seus elementos forem iguais. Por essa igualdade temos que:
Como não encontramos nenhuma estranheza, vai ser sempre possível escrever qualquer matriz como sendo combinação linear das matrizes desse conjunto usando essas igualdades de cima. Por exemplo, a matriz:
Vai possuir os coeficientes
De forma que conseguimos escrever:
Então concluímos que o conjunto é sim uma base do espaço 😊
A gente ainda pode dizer, como essa base possui quatro vetores, que o espaço possui dimensão igual a !!
Boa galera, chegamos ao fim desse tópico!Mas não fique chateado, eu estarei nos exercícios esperando vocês para ficarmos feras em verificar se um conjunto é base ou não 😊
#vemparaosexercícios
Condições para um conjunto ser uma Base Vetorial
Conferindo bases nos espaço das matrizes
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Verifique se o subconjunto do são ou
Passo 1
Opa, tudo certinho? Vamos começar nosso estudo sobre Bases!
Epa epa epa, pera aí a matéria não é base? Por que a gente tá falando sobre a linearidade de um subconjunto??
Bom, quando a gente fala de base, temos dois pontos principais:
- Precisamos que o conjunto seja
- Determinar uma base e dimensão de cada subespaço
Então antes de começarmos a colocar a mão na massa para resolver essas bases, vamos começar treinando como ver se o sistema é ou
Passo 2
Show, a gente pode ver de um jeitinho mais fácil que normalmente
Nesse caso, temos dois vetores:
e
E esses vetores são múltiplos um do outro, se liga só:
Se multiplicarmos pelo escalar , ficamos com
E deu exatamente o mesmo vetor, então eles são Linearmente Dependentes!
Passo 3
Maas se isso não tiver muito fácil de visualizar, vou te mostrar aqui o método bonitinho para ver se os vetores são ou
Temos dois vetores que vamos chamar assim:
Para vermos se um sistema é , precisamos fazer esse esqueminha daqui:
Detalhe, esse que apareceu ali é o vetor nulo. A gente tem que tomar cuidado qual vetor nulo que a gente vai usar. Ele depende do espaço que a gente está. Não esquenta que já já eu te mostro qual que a gente usa aqui!
E para esse sistema ser (o que queremos para que nosso subconjunto atenda uma das condições da base) precisamos que a única maneira do esqueminha dar zero, é e , só assim!
Então vamos lá!
O vetor zero nesse caso é no (porque nosso vetor tem coordenadas), então nosso vetor zero nesse caso é:
Show, fazendo nosso esqueminha, temos que
Fazendo a distributiva, temos que
Para somar esses vetores, a gente tem que somar os valores que estão na mesma posição nos dois vetores. Então ficamos com:
Passo 4
Beleza, vamos montar um sisteminha para isso:
Podemos multiplicar a linha de cima por
E somar as linhas
Deu verdade, então é Nãooo! Para analisar isso daí a gente vai pensar que, para qualquer (sim qualquer) valor de e esse nossos sisteminha vai ser verdade, então temos outros valores de e diferente de zero, então ele não é , logo ele é
Passo 5
Outra maneira da gente resolver isso é fazer por matriz!
Montando nossa matriz, temos
Vamos tentar escalonar a nossa matriz, colocar o número embaixo da primeira linha e primeira coluna como zero, pro nosso exemplo é transformar em zero!
Para isso vamos fazer
Isso nos dá
Opa, zerou tudo embaixo, ou seja, pode ser descartada. Isso mostra pra gente que o sistema é
Resposta
O subconjunto é
Exercício Resolvido #2
Lista de Base e Dimensão – UNIFAVIP
Verifique se o subconjunto do são ou
Passo 1
Faaaala aí! Vamos continuar com nosso estudo sobre Bases!
Opa, pera aí a matéria não é base? Por que a gente tá falando sobre a linearidade de um subconjunto??
Bom, quando a gente fala de base, temos dois pontos principais:
- Precisamos que o conjunto seja
- Determinar uma base e dimensão de cada subespaço
Então antes de começarmos a colocar a mão na massa para resolver essas bases, vamos começar treinando como ver se o sistema é ou
Passo 2
Show, vamos lá então! Temos dois vetores que vamos chamar assim:
Para vermos se um sistema é , precisamos fazer esse esqueminha daqui:
E para esse sistema ser (o que queremos para que nosso subconjunto atenda uma das condições da base) precisamos que a única maneira do esqueminha dar zero, é e , só assim!
Então vamos lá!
O vetor zero nesse caso é no (porque nosso vetor tem coordenadas), então nosso vetor zero nesse caso é:
Montando nosso esqueminha é:
Fazendo a distributiva, ficamos com
Somando esses vetores, ficamos com
Passo 3
Show, agora vamos montar um sisteminha bonito para isso:
Vamos somar as duas últimas linhas!
Opa, a gente pode ver que os ’s vão cortar, ficamos então com
Show, achamos o valor de , agora vamos substituir em alguma linha para achar o valor de
Pode ser a primeira linha 😊
Como
Opa, então o único jeito de
É e
Então o subconjunto é
Resposta
O subconjunto é
Exercício Resolvido #3
Complemento de Álgebra Linear – UNIP
Determine uma base e a dimensão do seguinte subespaço:
Passo 1
Faaala aí galerinha! Vamos para mais uma questão de bases!! Uhul
Show, ele pede a base e a dimensão de um subespaço, lembrando que o subespaço é um subconjunto do espaço vetorial e se comporta da mesma forma que o espaço vetorial!
Belezinha, mas agora vamos falar sobre as bases, precisamos:
- Determinar uma base e dimensão de cada subespaço
- Verificar se o conjunto é ou
Passo 2
Vamos lá então!
Temos que o nosso vetor é desse jeitinho aqui:
Podemos colocar em evidência nesse vetor e ficamos assim:
Então, podemos concluir que
Ou seja, é gerado pelo vetor
Passo 3
Beleza pura! Achamos a base, agora vamos ver se ele é ou
Nosso vetorzinho gerador é o , para vermos se ele é ou , precisamos que:
Como estamos em temos que o vetor nulo é
O único jeito disso acontecer é
E isso mostra pra gente que o conjunto é
Show, então é uma base de
Passo 4
Agora que já vimos que é uma base, vamos ver qual é a dimensão!
Lembrando que:
“A dimensão de é o número de vetores da base”
Como nossa base só tem um vetor, a base é um!
Resposta
é uma base de e a
Exercício Resolvido #4
Algebra Linear – Instituto Federal Catarinense
Determine a dimensão e uma base para o seguinte espaço vetorial
Passo 1
Opa, fala aiii! Vamos para mais uma questão de Bases!
Beleza, a questão quer uma base e a dimensão do espaço vetorial, lembrando que
“A dimensão de é o número de vetores da base”
Então vamos partir pra cima e encontrar essa base!
Passo 2
De acordo com o enunciado, temos que o espaço vetorial é
Vamos fazer essa mudança
Ficando com
Agora, vamos separar esse vetor em dois vetores, um só com e um só com
(tá vendo que a soma deles é exatamente o vetor de cima né? Então show)
Beleza, agora vamos colocar e em evidência!
Opa, vamos entender o que aconteceu aqui?
Nós achamos que qualquer vetor desse espaço vetorial pode ser escrito com essa carinha aí de cima: um qualquer que multiplica o vetor e um qualquer que multiplica o vetor . Esses dois vetores que apareceram são os vetores da base que a gente queria!! Nossa base é então
E como temos dois vetores na base, a dimensão é dois
Resposta
Base:
Exercício Resolvido #5
Complementos de Álgebra Linear - UNIP
Determine uma base e a dimensão do seguinte subespaço
Passo 1
Opa galerinha, tudo certinho? Vamos para mais uma questão de bases 😊
Show, ele pede a base e a dimensão de um subespaço, lembrando que o subespaço é um subconjunto do espaço vetorial e se comporta da mesma forma que o espaço vetorial!
Belezinha, mas agora vamos falar sobre as bases, precisamos:
- Determinar uma base e dimensão de cada subespaço
- Verificar se o conjunto é ou
Passo 2
Vamos lá então!
Se pegarmos um vetor qualquer do :
E substituirmos o valor de que o exercício nos fala que é a característica do subespaço , temos que o nosso vetor é desse jeitinho aqui:
Vamos separar esse vetor em dois: o que tem e o que tem , se liga aqui
Se fizer essa soma dá o nosso vetorzinho de cima, show?
Agora o que a gente vai fazer é colocar e em evidência nesse vetor e ficamos assim:
Então, podemos concluir que
Ou seja, é gerado pelos vetores
Passo 3
Beleza pura! Achamos a base, agora vamos ver se ele é ou
Para vermos se os vetores da base são ou , precisamos que:
Como estamos em temos que o vetor nulo é , e os vetores da base são aqueles que a gente achou agora há pouco:
Fazendo a distributiva, temos que:
Somando os vetores temos que:
Show de bolinhas, vamos montar um sisteminha então para descobrir e
Show! Da primeira e segunda a gente tem que e . Vamos ver se isso se encaixa na terceira linha:
Como chegamos em uma relação que é verdade, , então, o único jeito de acontecer é se
E isso mostra para a gente que o conjunto é
Show, então é base de
Passo 4
Agora que já vimos que é uma base, vamos ver qual é a dimensão!
Lembrando que:
“A dimensão de é o número de vetores da base”
Como nossa base só tem dois vetores, a base é dois!
Resposta
é uma base de e a
Exercício Resolvido #6
Geometria Analítica – UNIASSELVI
No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da base para imagem da transformação
analise as opções a seguir:
Passo 1
Faaala aí, vamo que vamo para uma questão sobre Base!
Bom o enunciado dá pra gente a transformação
Vamos focar só no vetor
Show, agora vamos separar esses do , ficando com
Opa, já estamos começando a ter uma forminha
Agora, podemos colocar e em evidência!
Passo 2
Show, então temos que
vai ser a base da nossa transformação, tranquilinho?
Para qualquer valor de e conseguimos formar todos os vetores da nossa transformação!
E a opção que tem essa base é
Resposta
Exercício Resolvido #7
UFRJ-P1-2013.2 (adaptado)
Seja o subespaço definido por:
O conjunto abaixo é base de
Passo 1
Faaaaala aí! Bora para mais uma questão sobre Bases!
Vamos para o que interessa então:
Para termos uma base, precisamos que:
- O conjunto seja ;
- Determinar uma base e dimensão de cada subespaço.
Passo 2
Galera, quando a gente tem mais de 2 vetores em um conjunto que é para a gente descobrir se é ou não uma base, vale a pena usarmos as matrizes!
Para descobrirmos se esses vetores da base são basta jogarmos eles numa matriz e escalonarmos:
Na segunda linha, vamos substituir por
E na terceira linha , vamos substituir por , ficando com:
Agora, vamos substituir a 3ª linha por
Opa, opa, opa! Quando tentamos escalonar, acabamos zerando uma das linhas... E aí?
Quando escalonamos uma matriz composta com um conjunto de vetores e acabamos zerando uma das linhas a gente diz que esses vetores são LD.
Então não, o conjunto não é base de .
Resposta
não é base de
Exercício Resolvido #8
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 99 – Ex. 74 – b)
Seja o subespaço de :
O conjunto
É uma base de ?
Passo 1
Opaa, e aí galerinha, vamos lá para mais uma questão sobre Bases!
Para compararmos, precisamos saber antes quem é a base de .
Sendo assim, vamos encontrar os geradores para o conjunto:
Como e , vamos reescrever nossa matriz assim:
Agora vamos separar as variáveis e , ficando com:
Agora, vamos colocar e em evidência!
Ihhh caramba, os vetores deram diferentes então não é uma base, correto?? ERRADO!!
Se essas matrizes que achamos forem uma Combinação Linear, da base indicada no enunciado, não tem problema algum! Sendo assim, vamos verificar isso.
Passo 2
Se você perceber podemos escrever como uma Combinação Linear de , essa matriz vai ser válida. No fundo a gente tem que ver se existe um e um nesse sistema aqui:
Comparando termo a termo, conseguimos montar o sistema:
As duas primeiras linhas e a última nos dão os valores de um e , vamos ver se esses valores se encaixam na terceira linha:
Então existe e . então a matriz é valida!
Já para a segunda vamos testar de novo essa igualdade:
Temos que
Uééé como que na primeira linha e na última??? Não existe valor de !
Como podemos ver a primeira e a última equação se contradizem e, portanto, a equação é impossível.
Logo, não é uma de e o conjunto do enunciado não é uma base de .
Resposta
Não é uma base de
Exercício Resolvido #9
Algebra Linear – Matrizes e Bases L I e L D – IFPE (adaptada)
Seja e o conjunto .
Mostrar que não é base do
Passo 1
Faaala aí, tudo certinho? Espero que sim porque vamos para mais uma questão sobre Bases!
O enunciado diz pra gente que o conjunto é
E precisamos mostrar ele não que uma base do
Para esse conjunto ser uma base de , precisamos:
- Que o conjunto seja ;
- Qualquer vetor do possa ser escrito como combinação linear desses vetores.
- Verificar se o conjunto é
Como o enunciado diz que ele não é uma base, uma dessas afirmações estará errada, ou as duas, mas se acharmos uma já prova que o conjunto não é base 😊
Passo 2
Sem mais delongas, vamos começar pela primeira
Vamos começar dando nome aos bois, temos vetores dentro do nosso conjunto, são eles:
Bom, se olharmos bem, podemos ver que
Isso faz com que nosso sistema seja Linearmente Dependente (porque um dos vetores depende dos outros dois).
Passo 2
Maaas se não percebemos isso, podemos fazer do jeitão clássico!
Podemos montar uma matriz, desse jeitinho aqui:
Para que o sistema seja , ao escalonarmos a matriz, não poderemos ter nenhuma linha com todos os valores dando zero nem linhas repetidas, então vamos lá!
Montando a matriz, temos:
Show, para escalonar precisamos, primeiro, que todos os valores embaixo do que está na primeira coluna da primeira linha sejam iguais a zero!
Para isso precisamos eliminar o da primeira coluna da última linha. Faremos então a seguinte substituição
Vamos ficar então com
Que dá
Opaa, já achamos que a linha 2 é igual a linha 3, então o sistema é Linearmente Dependente
Como o sistema é , mostramos que não é base de
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #10
Algebra Linear – Matrizes e bases LI e LD – IFPE
Determinar a dimensão e uma base para o seguinte subespaço vetorial de
Passo 1
Faaaaala aí! Vamos para mais uma questão sobre bases! UHUL
Bom o enunciado pede para a gente uma dimensão e uma base, então vamos relembrar como encontramos a dimensão, temos um ditado que diz que:
“A dimensão de é o número de vetores da base”
Então vamos partir pra cima e encontrar essa base!
Passo 2
Para começar, vamos montar essa matriz considerando a restrição do enunciado, temos que
Nossa matriz fica então
Agora vamos dar uma separada nessa matriz, separando as variáveis
(Somando essas duas matrizes dá exatamente a de cima, se ligou?)
Agora vamos colocar e em evidência!
E a base é exatamente essas matrizes que encontramos, que são
Opa, então temos duas matrizes na base então a dimensão é dois