Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 16 b
1. Em cada parte, encontre a decomposição espectral da matriz
(a) (b)
(c) (d)
Passo 1
E aí? Bora resolver mais essa?
Bom, precisamos encontrar a decomposição espectral:
Onde:
Passo 2
Precisamos dos os autovalores e autovetores:
Passo 3
A primeira coisa que vamos fazer é calcular o autovalor:
E vamos fazer parte, primeiro :
Passo 4
Lembra da equação que escrevemos ali em cima?
Agora vamos substituir os valores nela:
Reescrevendo:
Então:
Passo 5
Bora fazer o determinante da nossa matriz?
Passo 6
Lembra quando o pessoal dizia que nunca mais iria usar Bhaskara?
Não podiam estar mais errados.
Onde:
Passo 7
Calculando:
Retornando em:
Passo 8
Agora é a vez dos autovetores:
Onde:
Logo:
Como já temos :
Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar . Fácil, não!?
Passo 9
Para :
Montando em forma de sistema, temos:
Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Eu vou escolher a primeira:
O objetivo é isolar uma das incógnitas, eu vou escolher o :
Escrevendo:
Colocando em evidência, temos:
Temos que o valor de autovetor é:
Passo 10
Para
Montando em forma de sistema, temos
Agora só escolher novamente uma equação do sistema, não importa qual. Eu vou escolher a primeira:
O objetivo é isolar uma das incógnitas, eu vou escolher o :
Escrevendo:
Colocando em evidência, temos:
Temos que o valor de autovetor é:
Passo 11
Falta pouco!!!
Agora vamos normalizar os autovetores:
Podemos reorganizar a fração :
Passo 12
Último passo antes da tão sonhada decomposição espectral!!!!
Só precisamos fazer a transposta de , só fazer linha virar coluna, e temos:
Para :
Para :
Passo 13
Você lembra da primeira equação, aquela do Passo 1!? Olha ela ali em baixo......
Precisamos substituir:
E realizar as multiplicações:
Aaaaeeeeeeeeeeeeee!!! Chegamos na tão esperada decomposição espectral:
Prontinho!!! Agora faltam apenas duas, bora resolver ela?