Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.3 - Ex. 1
Seja o operador linear cuja matriz relativa à base canônica é
a) Achar os valores próprios de A.
b) Achar uma matriz ortonormal do em relação à qual a matriz de A é diagonal.
c) Achar uma matriz M ortogonal tal que é a matriz diagonal obtida em b)
Passo 1
Temos a matriz
Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios
Lembrando que é a matriz identidade e o é o valor que queremos descobrir, logo
Em b para descobrir a matriz ortonormal, precisaremos dos vetores próprios da matriz. Já a letra c precisamor aplicar na matriz diagonal
Passo 2
a) Vamos subtrair
Certinho? Então descobrimos , agora falta colocar no determinante!
Assim
E encontramos os valores próprios igualando a zero, assim
Passo 3
b) Agora vamos pro vetor próprio usando
Colocando no sisteminha de equações
Simplificando
Então
Logo o vetor é
Passo 4
Vamos pro vetor próprio usando
Colocando no sisteminha de equações
Simplificando
Então
Logo o vetor é
Passo 5
Vamos pro vetor próprio usando
Colocando no sisteminha de equações
Simplificando
Então
Logo o vetor é
Passo 6
O vetor para é
E sua normalização
O vetor para é
E sua normalização
O vetor para é
E sua normalização
Assim, os autovalores
Então a matriz de mudança da base canônica é
Passo 7
c. Nós já temos a matriz M ortogonal , ela é caracterizada pelos autovalores, ou seja,