Exercícios de Teorema Espectral - Lista de Exercícios Resolvida

Determinar uma matriz que diagonaliza ortogonalmente e calcular .

Seja

Determine de é diagonalizável.

Se ela for, apresente uma e que satisfaça a diagonalização.

Considere:

Considere dada por , onde . Denotamos por a base canônica de .

Calcule a matriz e determine se é diagonalizável para qualquer valor . (Dica: não tente calcular os autovetores)

No caso em que , ache uma base de constituída de autovetores de .

Para cada real, considere a transformação dada por:

Existe um valor de para qual não seja diagonalizável?

Para cada real, considere a transformação dada por:

Existe um valor de para qual não seja diagonalizável? Justifique.

Considere o sistema :

1. Se é diagonalizável, então o sistema sempre tem solução, qualquer que seja o vetor .
2. Se é simétrica, então o sistema sempre tem solução única, qualquer que seja o vetor .

é falsa e é falsa

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira.

é verdadeira e é verdadeira

A matriz possui dois autovalores distintos, e Sabe-se que é uma base do autoespaço associado a e é uma base do autoespaço associado a . Considere as afirmativas:

(I) Se e , então A é simétrica.

(II) Se e então A é simétrica.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Considere a matriz

c) Justifique a afirmação verdadeira: é ortogonalmente diagonalizável.

Seja a transformação linear dada por

(a) Mostre que a matriz de na base canônica de é:

(b) Determine os autovalores de .

(Dica na conta: .)

(c) Determine os autoespaços de .

(d) é sobrejetora?

(e) Existe uma base ortonormal de feita de autovetores de ? Se sua resposta foi afirmativa, exiba uma base ortonormal de feita de autovetores de . Se sua resposta foi negativa, justifique.

(f) é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.

(g) Use a definição de e dê uma justificativa geométrica para encontrar novamente os autoespaços de .

(h) Use a definição de e dê uma justificativa geométrica para encontrar novamente os autovalores de .

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(b) Se então não é ortogonalmente diagonalizável seja qual for

Seja uma matriz simétrica com exatamente dois autovalores distintos, um positivo e o outro negativo. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. O determinante de tem que ser positivo
2. O traço de pode ser nulo

I é verdadeira e II é falsa

I e II são verdadeiras

I é falsa e II é verdadeira

I e II são falsas

Assinale a alternativa correta com relação à matriz:

(a) não tem inversa, nem é diagonalizável.

(b) é inversível e diagonalizável.

(c) é inversível, mas não é simétrica.

(d) não tem inversa, mas é diagonalizável.

Seja A uma matriz Assinale a única alternativa FALSA:

(a) é simétrica.

(b)

(c) é diagonalizável.

(d)

Considere as afirmativas:

1. Toda matriz triangular superior é diagonalizável.
2. A matriz é diagonalizável.

Ambas as afirmativas são verdadeiras.

Apenas a afirmativa é verdadeira.

Apenas a afirmativa é verdadeira.

Ambas as afirmativas são falsas.

Seja uma matriz quadrada . Então pode ser:

1. Uma matriz inversível tal que a dimensão da imagem de é .
2. Uma matriz simétrica com apenas autovalores distintos.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Ambas são falsas.

Ambas são verdadeiras.

Seja , , e a matriz identidade. Assinale a matriz abaixo que possui dois autovetores ortogonais:

Seja uma matriz quadrada.

Se é simétrica, então é diagonalizável.

Se é diagonalizável, então é invertível.

Se é invertível, então é simétrica.

Se é ortogonal, então é diagonalizável.

Determine se a transformação associada à matriz

é diagonalizável, e, caso positivo, ache uma base para a qual a matriz associada à transformação é diagonal, e que forma assume esta matriz.

Considere as seguintes afirmações:

Existe uma matriz real tal que é diagonal.

Sabendo que e são autovetores de , concluímos que .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

Considere as seguintes afirmações:

Seja uma matriz não diagonalizável, então possui autovetores linearmente independentes.

Se uma matriz é diagonalizável, então ela é simétrica.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é falsa e é falsa.

Seja A uma matriz quadrada. Considere as seguintes afirmações:

(i) Se A possui uma base ortogonal de autovetores, então A é simétrica.

(ii) Se A é simétrica, então A possui uma base ortogonal de autovetores.

(a) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(b) Ambas as afirmações são falsas.

(c) A afirmação (i) é verdadeira e a afirmação (ii) é falsa.

(d) A afirmação (i) é falsa e a afirmação (ii) é verdadeira.

Apenas uma das matrizes abaixo é diagonalizável. Qual delas?

(a)

(b)

(c)

(d)

Considere a matriz

d) Diagonalize ortogonalmente , ou seja, encontre ortogonal e diagonal tais que .

Assinale a matriz abaixo que é diagonalizável:

Seja uma matriz quadrada. Considere o sistema e as afirmativas abaixo:

1. Se não é simétrica, então o sistema nunca tem solução não nula, qualquer que seja o valor de
2. Se é simétrica, então sempre existe um valor de para o qual o sistema tem solução não nula

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

e são falsas

e são verdadeiras