Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 15
É verdadeira a recíproca do ? Explique
Passo 1
E aí? Bora resolver mais essa?
Não é verdadeira.
Se liga no próximo passo, que vamos entender o raciocínio!
Passo 2
Uma matriz não simétrica também pode de autovalores distintos. Por exemplo:
Passo 3
Vamos determinar os autovalores:
E vamos fazer parte, primeiro :
Passo 4
Lembra da equação que escrevemos ali em cima?
Agora vamos substituir os valores nela:
Reescrevendo, temos:
Então:
Passo 5
Bora fazer o determinante da nossa matriz?
Temos:
Passo 6
Agora é a vez dos autovetores:
Onde:
Logo:
Como já temos :
Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar . Fácil, não!?
Passo 7
Para :
Montando em forma de sistema, temos:
Isolando :
Temos:
Escrevendo:
Colocando em evidência, temos:
Temos que o valor de autovetor é:
Passo 8
Para :
Montando em forma de sistema, temos:
Temos:
E também, temos:
Escrevendo:
Colocando em evidência, temos:
Temos que o valor de autovetor é:
Passo 9
Durante a prova do Teorema , temos:
Ou seja:
Resposta
Não é verdadeira a recíproca.