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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 1 e

1. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz simétrica dada e depois, por inspeção, determine as dimensões dos autoespaços

(a) 1 2 2 4 (b)   1 - 4 2 - 4 1 - 2 2 - 2 - 2

(c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (d) 4 2 2 2 4 2 2 2 4

(e) 4 4 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (f) 2 - 1 0 0 - 1 2 0 0 0 0 2 - 1 0 0 - 1 2

Passo 1

(e) Para achar a equação característica fazermos:

λ I - A = 0

Onde:

I = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 1 ∙ λ

Passo 2

Primeiro vamos fazer:

λ I = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ

Passo 3

Retornando para:

λ I - A = 0

Substituindo os valores:

λ I - A = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ - 4 4 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 4 - 4 0 0 - 4 λ - 4 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ

Então, temos:

λ - 4 - 4 0 0 - 4 λ - 4 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = 0

Calculando o determinante, lembrando que para uma matriz 4 × 4 , utilizamos o Teorema de Laplace, onde primeiro escolhemos e fila (linha ou coluna– preferencialmente com maior número de zeros) onde o determinante será a soma entre cada elemento multiplicado pelo seu cofator.

Vamos calcular os cofatores:

C i j = - 1 i + j ∙ D i j

Onde D i j é a matriz resultante da exclusão da linha ( i ) e coluna ( j ) :

C 44 = - 1 4 + 4   ∙ D 44 = D 44 = λ - 4 - 4 0 - 4 λ - 4 0 0 0 λ

Calculando o novo determinante, lembrando que para uma matriz 3 × 3 , primeiro repetimos as duas primeiras colunas multiplicamos os elementos da diagonal principal e suas paralelas, e subtraímos do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária e suas parelas.

C 44 = λ - 4 - 4 0 - 4 λ - 4 0 0 0 λ λ - 4 - 4 - 4 λ - 4 0 0

C 44 = λ ∙ λ - 4 ∙ λ - 4 + 0 + 0 - λ - 4 ∙ 0 - λ - 4 ∙ 0 - 16 λ

C 44 = λ ∙ λ 2 - 8 λ + 16 - 16 λ

C 44 = λ 3 - 8 λ 2 + 16 λ - 16 λ

C 44 = λ 3 - 8 λ 2

Passo 4

Retornando para:

Relembrando:

λ I - A = 0

Logo:

λ 4 - 8 λ 3 = 0

Passo 5

Determinando os autoespaços:

λ 4 - 8 λ 3 = 0

Podemos reescrever retirando λ 3 em evidência ou utilizar um software:

λ 3 ∙ λ - 8 = 0  

Temos:

λ 1 = 0 ,   λ 2 = 0   e   λ 3 = 8

Resposta

E q .   c a r a c t e r í s t i c a :   λ 4 - 8 λ 3 = 0

O s   a u t o e s p a ç o s   λ = 8   é   u n i d i m e n s i o n a l ,   e   λ = 0   é   t r i d i m e n s i o n a l

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