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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 1.6

Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis.

6 )   T : M 2 → M 2 : A → A t

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

Vamos começar escrevendo a matriz da transformação. Pra isso, a gente tem que pensar em como podemos associar as matrizes a um vetor. Então vamos começar encontrando as transformações das matrizes “base”.

T 1 0       0 0 = 1 0       0 0 = 1 1 0       0 0 + 0 0 0       1 0 + 0 0 1       0 0 + 0 0 0       0 1

T 0 0       1 0 = 0 1       0 0 = 0 1 0       0 0 + 0 0 0       1 0 + 1 0 1       0 0 + 0 0 0       0 1

T 0 1       0 0 = 0 0       1 0 = 0 1 0       0 0 + 1 0 0       1 0 + 0 0 1       0 0 + 0 0 0       0 1

T 0 0       0 1 = 0 0       0 1 = 0 1 0       0 0 + 0 0 0       1 0 + 0 0 1       0 0 + 1 0 0       0 1

Por isso, a matriz da transformação é:

T = 1 0 0 0       0 0 1 0       0 1 0 0       0 0 0 1

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

1 - λ 0 0 0       0 0 - λ 1 0       0 1 0 - λ 0       0 0 0 1 - λ = 0

Pelo teorema de La Place na última coluna:

1 - λ 1 - λ 0 0       0 - λ 1       0 1 - λ = 0

E agora pela regra de Sarrus, vamos encontrar:

1 - λ 1 - λ λ 2 - 1 = 0

E então, resolvendo, temos só dois autovalores!

λ = 1

λ = - 1

Agora a gente substitui cada um e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = 1 :   v = [ 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ]

λ = - 1 : v = ( 0 ,   - 1 ,   1 ,   0 )

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 4 , e encontramos só 2 autovetores distintos. Por isso, o operador não é diagonalizável!

Resposta

Não é diagonalizável.

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