Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 4
Seja uma matriz triangular superior, com todos os seus elimentos acima da diagonal distintos e não nulos.
- Quais são os autovalores e autovetores de ?
- Qual é o polinômio minimal de ?
Passo 1
- A gente já tá careca de saber como é que calcula os autovalores e autovetores, então bora lá!
- Já vimos que a matriz é diagonalizável, já que ela tem autovetores distintos, né? Então pelo teorema , o polinômio minimal vai ser:
Essa matriz é triangular, então o determinante é igual ao produto dos termos da diagonal principal:
Então os autovalores são:
Passo 2
Agora vamos pros autovetores. A gente vai substituir na equação:
Para :
Resolvendo,
Da última, , e aí substituindo nas outras, também é . Enquanto isso, o tá livrinho, então o nosso autovetor vai ser:
Para :
Resolvendo,
Da segunda e da terceira, , e aí, na primeira:
E aí o autovetor é:
Para :
Da segunda equação:
E aí, jogando na primeira:
Resolvendo essa equação em :
E aí, arrumando a casa:
E aí o autovetor é:
Passo 3
Resposta
- Autovalores: , , .
Autovetores:
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