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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 1 c

1. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz simétrica dada e depois, por inspeção, determine as dimensões dos autoespaços

(a) 1 2 2 4 (b)   1 - 4 2 - 4 1 - 2 2 - 2 - 2

(c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (d) 4 2 2 2 4 2 2 2 4

(e) 4 4 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (f) 2 - 1 0 0 - 1 2 0 0 0 0 2 - 1 0 0 - 1 2

Passo 1

(c) Para achar a equação característica fazermos:

λ I - A = 0

Onde:

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 2

Primeiro vamos fazer:

λ I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Passo 3

Retornando para:

λ I - A = 0

Substituindo os valores:

λ I - A = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 1 - 1 - 1 - 1 λ - 1 - 1 - 1 - 1 λ - 1

Então, temos:

λ - 1 - 1 - 1 - 1 λ - 1 - 1 - 1 - 1 λ - 1 = 0

Calculando o determinante, lembrando que para uma matriz 3 × 3 , primeiro repetimos as duas primeiras colunas multiplicamos os elementos da diagonal principal e suas paralelas, e subtraímos do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária e suas parelas.

λ - 1 - 1 - 1 - 1 λ - 1 - 1 - 1 - 1 λ - 1 λ - 1 - 1 - 1 λ - 1 - 1 - 1 =

λ - 1 ∙ λ - 1 ∙ ( λ - 1 ) - 1 - 1 - λ - 1 - λ - 1 - λ - 1 = 0

λ - 1 ∙ λ 2 - 2 λ + 1 - 2 - λ + 1 - λ + 1 - λ + 1 = 0

λ 3 - 2 λ 2 + λ - λ 2 + 2 λ - 1 - 2 - λ + 1 - λ + 1 - λ + 1 = 0

Reorganizando:

λ 3 - 2 λ 2 - λ 2 + 2 λ + λ - λ - λ - λ - 1 - 2 + 1 + 1 + 1 = 0

λ 3 - 3 λ 2 = 0

Passo 4

Determinando os autoespaços:

λ 3 - 3 λ 2 = 0

Podemos reescrever retirando λ 2 em evidência ou utilizar um software:

λ 2 ∙ λ - 3 = 0  

Temos:

λ 1 = 0 ,   λ 2 = 0   e   λ 3 = 3

Resposta

E q .   c a r a c t e r í s t i c a :   λ 3 - 3 λ 2 = 0

O s   a u t o e s p a ç o s   λ = 3   é   u n i d i m e n s i o n a l ,   e   λ = 0   é   b i d i m e n s i o n a l

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