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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 75c

Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema:

x - 2 y - z = 0 2 x + y + 3 z = 0 x + 3 y + 4 z = 0

Passo 1

Vamos lá!! Primeira coisa que vamos fazer é isolar a variável x na primeira equação do sistema:

x = 2 y + z

Agora vamos substituir na segunda equação:

2 2 y + z + y + 3 z = 0

⇔ 4 y + 2 z + y + 3 z = 0

⇔ 5 y = - 5 z

⇔ y = - z

Voltando na equação de x temos:

x = 2 y + z

⇔ x =   - 2 z + z

⇔ x = - z

Beleza?! Agora vamos substituir esse valor de x   encontrado na última equação pra ver se é satisfeita

x + 3 y + 4 z = 0

⇔ - z - 3 z + 4 z = 0

⇔ 0 = 0     ( o k )

Show de bola?!

Passo 2

Então, nosso subespaço pode ser escrito da forma

( - z , - z , z )  

Como é uma variável, a dimensão é 1.

Uma base pode ser:

B = ( - 1 , - 1,1 )

Obs: Repare que a base irá variar de acordo com a variável isolada. O que fizemos aqui é só uma das possibilidades ;)

Resposta

D i m = 1

B = ( - 1 , - 1,1 )

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Verificar se o vetor v = ( - 1 ,- 3 ,2 ,0 ) pertence ao subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 2 ,- 1 ,3 ,0 ) , v 2 = ( 1 ,0 ,1 ,0 ) e v 3 = ( 0 ,1 ,- 1 ,0 ) .