Enunciado

Verificar se o vetor v = ( - 1 ,   - 3 ,   2 ,   0 ) pertence ao subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 2 ,   - 1 ,   3 ,   0 ) , v 2 = ( 1 ,   0 ,   1 ,   0 ) e v 3 = ( 0 ,   1 ,   - 1 ,   0 ) .

Passo 1

Antes de mais nada vamos lembrar que o subespaço formado por vetores é o conjunto de todas as combinações lineares deles, certo?

Então o que a gente vai fazer é verificar se tem alguma combinação linear de v 1 , v 2 e v 3 que dê o vetor v , sacou? Bora lá!

v = a v 1 + b v 2 + c v 3

Substituindo os vetores dados no enunciado

- 1 , - 3 ,   2 ,   0 = a 2 ,   - 1 ,   3 ,   0 + b 1 ,   0 ,   1 ,   0 + c ( 0 ,   1 ,   - 1 ,   0 )

Fazendo a soma, ficamos com

- 1 ,   - 3 ,   2 ,   0 = 2 a + b ,   - a + c ,   3 a + b - c ,   0

Beleza, a última componente já bateu. Agora vamos fazer um sisteminha com as três primeiras e ver se encontramos solução. Show de bola?!

Passo 2

O nosso sistema vai ficar assim:

2 a + b = - 1 - a + c = - 3 3 a + b - c = 2

Subtraindo a primeira equação da terceira, temos

3 a + b - 2 a + b - c = 2 - - 1

⇒ a - c = 3

Opa! Se você reparar essa equaçãozinha que encontramos é igual à segunda equação do sistema, só que multiplicada por - 1 , concorda?

Isso significa que podemos escrever os seguinte

a = 3 + c

Show de bola?!

Agora, da primeira equação

2 a + b = - 1 → b = - 1 - 2 a

⇒ b = - 7 - 2 c

Ou seja, o parâmetro c é um parâmetro livre. Pode assumir qualquer valor.

Mas isso não atrapalha em nada por que c pode ser qualquer número real, e isso significa que esse sisteminha tem infinitas soluções e podemos sim escrever o vetor do enunciado como uma combinação de v 1 , v 2 e v 3 .

Logo, o vetor pertence ao subespaço!

Resposta

O vetor pertence ao subespaço.

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