Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 45
Verificar se o vetor pertence ao subespaço do gerado pelos vetores , e .
Passo 1
Antes de mais nada vamos lembrar que o subespaço formado por vetores é o conjunto de todas as combinações lineares deles, certo?
Então o que a gente vai fazer é verificar se tem alguma combinação linear de , e que dê o vetor , sacou? Bora lá!
Substituindo os vetores dados no enunciado
Fazendo a soma, ficamos com
Beleza, a última componente já bateu. Agora vamos fazer um sisteminha com as três primeiras e ver se encontramos solução. Show de bola?!
Passo 2
O nosso sistema vai ficar assim:
Subtraindo a primeira equação da terceira, temos
Opa! Se você reparar essa equaçãozinha que encontramos é igual à segunda equação do sistema, só que multiplicada por , concorda?
Isso significa que podemos escrever os seguinte
Show de bola?!
Agora, da primeira equação
Ou seja, o parâmetro é um parâmetro livre. Pode assumir qualquer valor.
Mas isso não atrapalha em nada por que pode ser qualquer número real, e isso significa que esse sisteminha tem infinitas soluções e podemos sim escrever o vetor do enunciado como uma combinação de , e .
Logo, o vetor pertence ao subespaço!
Resposta
O vetor pertence ao subespaço.