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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 8e

Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 6.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 6, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados. Iremos que começar com a matriz da letra A da questão 6, e depois, iremos seguirmos os mesmos passos para as outras.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com cada item do exercício 6, nesse primeiro caso teremos,

5 - λ 0 1 1 1 - λ 0 - 7 0 0 - λ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ = 2 ,

3 0 1 1 - 1 0 - 7 0 - 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

3 x 1 + x 3 = 0 x 1 - x 2 = 0 - 7 x 1 - 2 x 3 = 0

Passo 2

Agora, teremos que resolver o sistema para encontrarmos nossa resposta. Aplicando qualquer tipo de solução de sistemas, encontraremos o seguinte resultado,

x 1 = x 2

x 3 = - 3 x 1

Passo 3

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

x 1 x 1 - 3 x 1

Resposta

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 2 é,

1 1 - 3

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Para cada uma das formas quadráticas abaixo, execute as seguintes tarefas: a) Escreva sua matriz e sua equação característica; b) Obtenha seus autovalores; c) Descreva suas linhas de nível; d) Ache au
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Determine os autovalores das matrizes abaixo: 0 3 0 3 3 3 0 3 0 6 - 1 - 3 - 1 0 - 3 - 3 - 3 - 2