Para cada uma das formas quadráticas abaixo, execute as seguintes tarefas:

a) Escreva sua matriz e sua equação característica;

b) Obtenha seus autovalores;

c) Descreva suas linhas de nível;

d) Ache autovetores unitários ortogonais u e u∗ ;

e) Determine os novos eixos em cujas coordenadas a forma quadrática se exprime como ;

f) Ache os focos da cônica em termos das coordenadas .

As formas quadráticas são:

a)

Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:

Onde vamos encontrar como solução:

Logo teremos como autovalores

Neste item vamos descrever as linhas de nível.

Para que isso ocorra temos que encontrar substituindo nosso valores temos:

Como o nosso resultado foi maior que 0 temos que nossa linha de nível pode ser representada como ; com

Quase acabando fica comigo!

Para encontramos o autovetor vamos mergulhar no polinômio característico e na álgebra hermitiana.

Mas o livro nos dá uma dica , que simplificando o autovetor e encontrado utilizando a relação:

Encontrado pela relação:

Onde já encontramos o mesmo valerá para essa forma quadrática; logo teremos que:

Portanto o autovetor será:

Vamos neste item determinar os novos eixos para isso vamos lembrar que:

.

Igualando termo a termo teremos:

Já sabemos , calculado no item anterior, então vamos substituir:

Resolvendo ambas as equações graficamente observamos que o novos eixos serão

Dica!

Use uma calculadora gráfica para resolver ambas as equações pois algebricamente é impossível um exemplo é o uso do Symbolab

Neste item, o mesmo decorre da resposta do item anterior com a resolução graficamente das equações

Vamos obter a distância focal igual a:

Como ,as coordenadas dos focos serão:

Ufa essa foi longa, mas acabamos!

Te vejo na próxima questão!