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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 7

Encontre uma matriz elementar E que satisfaça a equação.

  1. E A = B
  2. E B = A
  3. E A = C
  4. E C = A

Passo 1

Show de bola então galerinha, aqui a gente só precisa encontrar a matriz E dada a relação do enunciado, sabendo que E é uma matriz elementar, isto é, com apenas uma operação elementar conseguimos transformar essa matriz na matriz identidade.

Passo 2

Na letra (a) temos que E A = B

A = 3 4 1 2 - 7 - 1 8 1 5   e   B = 8 1 5 2 - 7 - 1 3 4 1

E olhando um pouquinho mais a fundo na nossa matriz a gente pode perceber que trocando a linha 1 pela linha 3 da matriz A a gente obtém a matriz B

A = 3 4 1 2 - 7 - 1 8 1 5 ⇒ L 1 ⇔ L 3 = 8 1 5 2 - 7 - 1 3 4 1 = B

Ou seja, a operação elementar que E realiza é uma troca de linhas entre a linha 1 e linha 3, logo

E = 0 0 1 0 1 0 1 0 0

Passo 3

Agora na letra (b) temos que E B = A

A = 3 4 1 2 - 7 - 1 8 1 5   e   B = 8 1 5 2 - 7 - 1 3 4 1

Como vimos no item anterior, a operação que E realizava em E A = B , era uma troca de linhas entre a linha 1 e linha 3, já na nossa relação E B = A , vamos precisar realizar a mesma troca, logo a operação que E realiza, é a mesma.

E = 0 0 1 0 1 0 1 0 0

Passo 4

No item (c) temos que E A = C

A = 3 4 1 2 - 7 - 1 8 1 5   e   C = 3 4 1 2 - 7 - 1 2 - 7 3  

E aqui se fizermos L 3 = L 3 - 2 L 1 vamos obter a linha que queremos da matriz C , logo a operação que E tem que realizar é repetir a linha 2 na linha 3 fazendo L 3 = L 3 - 2 L 1

A = 3 4 1 2 - 7 - 1 8 1 5 ⇒ L 3 = L 3 - 2 L 1 = 3 4 1 2 - 7 - 1 2 - 7 3 = C  

Então

E = 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1

Passo 5

Agora no item (d) temos E C = A , que é o contrário do nosso item anterior, logo a operação que E faz é o contrário do item (c), isto é, se eu subtraia antes a linha 1 da linha 3, agora eu vou somar ela de volta

E = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

Resposta

  1. E = 0 0 1 0 1 0 1 0 0
  2. E = 0 0 1 0 1 0 1 0 0
  3. E = 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1
  4. E = 1 0 0 0 1 0 2 0 1
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