Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.Teste do Capítulo - Ex. 2
Encontre os valores de tais que o sistema homogêneo tem solução não trivial e para estes valores de , encontre um subconjunto de vetores ortonormais no conjunto solução, para a matriz
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Vamos começar! Resolver esta questão se trata de um problema de autovalores e autovetores! A primeira coisa que é conveniente fazermos é escrever o polinômio característicos relacionado a essa nossa matriz! Para isso vamos usar a equação:
Bora lá!
Passo 2
Reescrevendo a equação (1), utilizando a matriz dada e lembrando que é a matriz identidade em 3 dimensões, temos:
Agora, vamos achar que permita uma solução não trivial! Beleza?
Passo 3
Para isso precisamos tomar o determinante desta matriz , obtendo:
A equação (3) é o nosso polinômio característico! Vamos achar as raízes dele!
Passo 4
Uma raiz é bem direta, temos e para as outras duas precisamos aplicar Bhaskara, temos:
E como temos , temos que . Temos então nossas três raízes! Vamos obter os vetores agora!
Passo 5
Para isso precisamos aplicar as raízes individualmente em nossa equação (2), temos para , que:
Realizando o produto matricial, obtemos:
Como as duas últimas linhas são iguais, temos apenas uma equação, para dois parâmetros, vamos deixar um deles livre! Tal como , portanto o nosso primeiro vetor é:
Vamos obter o outro vetor! Belezinha?
Passo 6
Como temos agora apenas que , só somos capazes de obter mais um vetor linearmente independente, aplicando novamente a equação (2), temos:
Fazendo o produto matricial, temos:
Esse sistema apresenta apenas a solução trivial, então temos apenas um vetor que representa o conjunto solução, se escolhermos , e tomando a norma de , temos:
Temos que o nosso subconjunto ortonormal é tal que: