Seja A uma matriz nxn. Mostre que det(A) = 0 se, e somente se, uma de suas colunas é combinação linear das outras.
Passo 1
Vamos lá para mais uma demonstração!!
Seja A uma matriz com n linhas:
Passo 2
Se duas uma das linhas é combinação linear das demais, ao escalonarmos a matriz A obteríamos uma linha nula, como:
Passo 3
Sabendo que o determinante de A pode ser calculado antes ou depois do escalonamento e que seu valor é o mesmo em ambos os casos, podemos calcular o determinante de A por:
O determinante de uma matriz com linha nula é igual a zero, logo
det(A) = 0
Resposta
Demonstração.