Seja A uma matriz nxn. Mostre que det(A) = 0 se, e somente se, uma de suas colunas é combinação linear das outras.

Passo 1

Vamos lá para mais uma demonstração!!

Seja A uma matriz com n linhas:

A = A 1 ⋮ A n

Passo 2

Se duas uma das linhas é combinação linear das demais, ao escalonarmos a matriz A obteríamos uma linha nula, como:

A = A 1 ⋮ 0

Passo 3

Sabendo que o determinante de A pode ser calculado antes ou depois do escalonamento e que seu valor é o mesmo em ambos os casos, podemos calcular o determinante de A por:

det ⁡ A = det ⁡ A 1 ⋮ 0

O determinante de uma matriz com linha nula é igual a zero, logo

det(A) = 0

Resposta

Demonstração.

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