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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.Teste do Capítulo - Ex. 1a

Sejam S 1 e S 2 subconjuntos finitos do R n tais que S 1 seja um subconjunto de S 2 ( S 1 ≠ S 2 ) . Se S 2 é linearmente dependente, então:

a) S 1 pode ser linearmente dependente? Em caso afirmativo dê um exemplo.

Passo 1

Oiii, tudo bem?

Para resolver esta questão vamos tentar relembrar o que significa um subconjunto ser linearmente dependente. Se temos que S 2 = { V 1 , V 2 , … , V k } , um subconjunto formado pelos vetores apresentados, ele será linearmente dependente se tiver uma solução não-trivial para a seguinte equação:

x 1 V 1 + x 2 V 2 + … + x k V k = 0           ( 1 )

Agora vamos tentar utilizar isso para dar uma resposta satisfatória para a afirmação da alternativa, beleza?

Passo 2

Como temos que S 1 é um subconjunto de S 2 , eu que S 2 é linearmente dependente. É possível que S 1 também seja linearmente dependente, uma vez que é possível que uma parcela linearmente dependente dos vetores S 2 componha S 1 . Vamos tentar dar um exemplo!

Passo 3

Se temos os vetores no R 3 , que formam o S 2 da seguinte forma:

S 2 = { 1,2 , 3 ; 2,4 , 6 ; ( ( 3,6 , 9 ) ) }

Note que se aplicarmos em equação (1), temos:

x 1 1,2 , 3 + x 2 2,4 , 6 + x 3 3,6 , 9 = 0

Temos ao menos a solução não-trivial x 1 = x 2 = α e x 3 = - α . Se pegarmos um subconjunto S 1 = { 1,2 , 3 ; ( 2,4 , 6 ) } que é subconjunto de S 2 , note que ainda é possível que ele seja linearmente dependente, saca só!

x 1 1,2 , 3 + x 2 2,4 , 6 = 0

Tem a solução não-trivial x 1 = α e x 2 = - α / 2 . Portanto é linearmente dependente! Vamos para a próxima alternativa!

Resposta

Ao longo dos passos

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