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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 28

Nos Exercícios 27-28, encontre uma solução geral do sistema e use essa solução para encontrar uma solução geral do sistema homogêneo associado e uma solução particular do sistema dado.

28.

9 - 3   5 6 6 - 2   3 1 3 - 1   3 1 4 x 1 x 2 x 3 x 4 =       4       5 - 8

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos primeiro encontrar a solução geral do sistema, escalonando a matriz aumentada M , que é a matriz onde adicionamos a coluna de termos independentes a matriz de coeficientes.

M = 9 - 3   5 6 6 - 2   3 1 3 - 1   3 14             4             5       - 8

L 2 ← L 2 - 2 3 L 1

9 - 3         5     6 0       0 - 1 3 - 3 3 - 1         3     14               4               7 3       - 8

L 3 ← L 3 - 1 3 L 1

9 - 3         5     6 0       0 - 1 3 - 3 0       0       4 3     12               4               7 3       - 28 3

L 3 ← L 3 + 4 L 2

9 - 3         5     6 0       0 - 1 3 - 3 0       0       0     0               4               7 3               0

Como a matriz M está escalonada, e obtivemos uma linha nula podemos omiti-la ao voltar para notação de sistema. Logo nosso sistema escalonado, é da forma:

9 x 1 - 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 = 4                                       - 1 3 x 3 - 3 x 4 = 7 3

Passo 2

Agora, a partir do nosso sistema escalonado vamos encontrar a solução geral:

9 x 1 - 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 = 4                                       - 1 3 x 3 - 3 x 4 = 7 3

Da equação 2 obtemos x 3 :

- 1 3 x 3 - 3 x 4 = 7 3

- 1 3 x 3 = 7 3 + 3 x 4

x 3 = 7 3 + 3 x 4 - 1 3 = - 3 ⋅ 7 3 + 3 x 4

x 3 = - 7 - 9 x 4

Da equação 1 podemos obter x 1 substituindo x 3 na equação

9 x 1 - 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 = 4

9 x 1 = 4 + 3 x 2 - 5 x 3 - 6 x 4

9 x 1 = 4 + 3 x 2 - 5 ⋅ ( - 7 - 9 x 4 ) - 6 x 4

9 x 1 = 4 + 3 x 2 + 35 + 45 x 4 - 6 x 4

9 x 1 = 39 + 3 x 2 + 39 x 4

x 1 = 39 9 + 3 9 x 2 + 39 9 x 4

x 1 = 13 3 + 1 3 x 2 + 13 3 x 4

Logo, temos:

x 1 = 13 3 + 1 3 x 2 + 13 3 x 4 , x 2 = x 2 , x 3 = - 7 - 9 x 4 ,   x 4 = x 4

De acordo com o livro, adotamos as letras s e t para nossa solução, logo a solução geral é:

x 1 = 13 3 + 1 3 s + 13 3 t , x 2 = s , x 3 = - 7 - 9 t ,   x 4 = t

Passo 3

Para encontrarmos uma solução geral do sistema homogêneo associado, temos que lembrar que a solução geral de um sistema pode ser obtida somando um vetor particular à solução do sistema homogêneo, logo vamos expressar a solução geral de forma vetorial:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 13 3 + 1 3 s + 13 3 t ,   s   ,   - 7 - 9 t   ,   t

Agora vamos separar o vetor solução geral em um vetor com variáveis somado a um vetor particular:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 13 3 + 1 3 s + 13 3 t ,   s   ,   - 7 - 9 t   ,   t

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 13 3 , 0 ,   - 7   ,   0 + 1 3 s + 13 3 t , s ,   - 9 t   , t

Dessa forma, encontramos a solução do sistema homogêneo associado, que é:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 1 3 s + 13 3 t , s ,   - 9 t   , t

Logo a solução do sistema homogêneo associado é:

x 1 = 1 3 s + 13 3 t , x 2 = s , x 3 = - 9 t   , x 4 = t

Passo 4

Para encontrarmos uma solução particular do sistema dado, basta simplesmente atribuirmos qualquer valor para as variáveis s e t .

x 1 = 13 3 + 1 3 s + 13 3 t , x 2 = s , x 3 = - 7 - 9 t ,   x 4 = t

Fazendo s = t = 0 , temos a solução:

x 1 = 13 3 , x 2 = 0 , x 3 = - 7 ,   x 4 = 0

Resposta

Solução geral do sistema: x 1 = 13 3 + 1 3 s + 13 3 t , x 2 = s , x 3 = - 7 - 9 t ,   x 4 = t

Solução geral do sistema homogêneo : x 1 = 1 3 s + 13 3 t , x 2 = s , x 3 = - 9 t   , x 4 = t

Solução particular: x 1 = 13 3 , x 2 = 0 , x 3 = - 7 ,   x 4 = 0

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