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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 21

21.

(a) A equação x + y + z = 1 pode ser vista como um sistema linear de uma equação em três incógnitas. Expresse uma solução geral dessa equação como uma solução particular somada com uma solução geral do sistema homogêneo associado.

(b) Dê uma interpretação geométrica do resultado da parte (a).

Passo 1

Para resolvermos a letra (a) da questão, primeiro devemos encontrar as duas soluções do sistema, a solução particular e a solução homogênea, respectivamente.

Como temos apenas um sistema linear de uma equação em três incógnitas, para encontrar a solução, basta isolarmos uma variável e escrevermos a solução em termos das outras duas incógnitas, logo:

x + y + z = 1

x = 1 - y - z y = y z = z

De acordo com o livro, adotamos as letras s e t para nossa solução, tendo assim a solução:

x = 1 - s - t y = s z = t  

Fazendo o mesmo processo para solução homogênea:

x + y + z = 0

x = - y - z y = y z = z

De acordo com o livro, adotamos as letras s e t para nossa solução, tendo assim a solução homogênea:

x = - s - t y = s z = t  

Passo 2

Agora que temos nossas duas soluções, vamos escrevê-las de forma vetorial, para podermos fazer o que a questão pede.

Não homogêneo: x , y , z = 1 - s - t ,     s ,     t

Homogêneo: x , y , z = - s - t ,     s ,     t

Repartindo os vetores do lado direito e juntando os termos de mesmo parâmetro, podemos rescrever as equações como

Não homogêneo: x , y , z = 1,0 , 0 + - s , s , 0 + ( - t , 0 , t )

x , y , z = 1,0 , 0 + s - 1,1 , 0 + t ( - 1,0 , 1 )

Homogêneo: x , y , z = - s , s , 0 + ( - t , 0 , t )

x , y , z = s - 1,1 , 0 + t ( - 1,0 , 1 )

Logo, podemos expressar a solução geral dessa equação como uma solução particular 1,0 , 0 somada com uma solução geral do sistema homogêneo associado s - 1,1 , 0 + t ( - 1,0 , 1 ) .

x , y , z geral. = 1,0 , 0 + x , y , z homog.

x , y , z = 1,0 , 0 + s - 1,1 , 0 + t ( - 1,0 , 1 )

Passo 3

(b) Temos que o resultado do item (a) foi:

x , y , z = 1,0 , 0 + s - 1,1 , 0 + t ( - 1,0 , 1 )

Logo, qual interpretação geométrica podemos ter sobre essa equação?

Vamos relembrar que a equação de um plano, passando por um ponto e paralela a dois vetores, é da forma:

x = x 0 + t 1 v 1 + t 2 v 2

Logo podemos concluir que x , y , z = 1,0 , 0 + s - 1,1 , 0 + t ( - 1,0 , 1 ) é:

Um plano em R 3 passando pelo ponto ( 1,0 , 0 ) e paralelo a - 1,1 , 0 e ( - 1,0 , 1 ) .

Resposta

(a) x , y , z = 1,0 , 0 + s - 1,1 , 0 + t ( - 1,0 , 1 )

(b) Um plano em R 3 passando pelo ponto ( 1,0 , 0 ) e paralelo a - 1,1 , 0 e ( - 1,0 , 1 ) .

Ver Outros Exercícios desse livro

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Mostre queb) R θ - 1 = R - θ .
Seja B uma matriz quadrada 2 × 2 .b) Verifique que B R θ é a matriz obtida girando as linhas de B de - θ .
Definimos coordenadas de pontos no espaço em relação a um sistema de coordenadas determinado por um ponto O ' e três vetores V 1 ,V 2 e V 3 L . I . não necessariamente ortonormais do R 3 da mesma form
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