Exercícios de Transformações Lineares Geométricas - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Determine a matriz que realiza as seguintes transformações no :
Projeta os vetores do espaço no plano
Reflete os vetores do espaço em torno do plano
Reflete os vetores do espaço em torno do eixo
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Determine a matriz que realiza as seguintes transformações no :
Amplia todos os vetores por um fator
Reflete os vetores em torno do eixo .
Projeta os vetores no eixo .
Reflete os vetores em torno da reta
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Determine (geometricamente, não faça contas) o núcleo e a imagem de cada uma das abaixo de em :
Projeção ortogonal na reta gerada pelo vetor
Reflexão em torno do plano
Projeção ortogonal no plano
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O vetor experimenta um cisalhamento horizontal de fator 2. Dê a matriz dessa transformação e o vetor resultante.
Ver solução completaQuestão 6
Considere os planos paralelos
E o ponto .
(a) Determine a projeção ortogonal do ponto P na reta .
(b) Determine a projeção ortogonal do ponto P no plano .
(c) Determine o espelhamento (reflexão) do ponto P em relação ao plano
(d) Considere o ponto Observe que o ponto pertence a e que (ou seja, transladando P pelo vetor obtemos Q). Determine o espelhamento de Q em relação ao plano
Ver solução completaQuestão 7
Seja uma matriz cujas colunas formam um conjunto linearmente independente. Assinale a alternativa FALSA:
a) pode representar uma reflexão por alguma reta do plano
b) pode representar uma projeção em alguma reta do plano
c) pode representar uma reflexão pela origem do plano
d) pode representar uma rotação no plano
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Seja A a matriz que representa, em relação à base canônica, a projeção ortogonal sobre a reta de equação . A soma das entradas de A é:
(a) 15/13
(b) 20/13
(c) 25/13
(d) 30/13
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Considere o plano de equação cartesiana:
e as transformações lineares P de projeção ortogonal no plano e E de espelhamento em relação ao plano .
(a) Determine a matriz de P na base canônica.
(b) Determine a matriz de E na base canônica.
(c) Determine a matriz da composição na base canônica.
(d) Encontre um plano (em equação cartesiana) tal que seja uma reta.
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Seja uma reflexão no plano, através de uma reta que passa pela origem. Se , então é igual a
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Questão 11
Considere as seguintes transformações lineares de em : , a reflexão através da reta ; , a projeção (ortogonal) sobre a reta y=0; , a transformação obtida pela composição de ambas, aplicando-se primeiro e em seguida . A matriz de é:
(a)
(b)
(c)
(d)
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Seja tal que e . Então:
(a) T pode ser uma reflexão através de um plano.
(b) T pode ser uma projeção sobre um plano.
(c) T pode ser uma reflexão através de uma reta.
(d) T pode ser uma rotação em torno de um eixo.
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Seja
Então, a transformação linear associada a A é
(a) uma reflexão através da reta gerada por (0, 1, 0);
(b) uma rotação de π/2 torno da reta gerada por
(0, 1, 0);
(c) uma rotação de π/2 em torno da reta gerada por
(1, 0, 1);
(d) uma reflexão através da reta gerada por (1, 0, 1);
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