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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 15

Nos Exerícios 15-18, encontre os autovalores e as bases dos autoespaços de A.

A = 4 1 - 5 0

Passo 1

Primeiro vamos encontrar os autovalores. Para isso vamos calcular o determinante abaixo:

λ - 4 - 1 5 λ - 0 = 0

Calculando o determinante:

λ - 4 λ - 0 - - 1 ⋅ 5 = 0

λ 2 - 4 λ + 5 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos os autovalores da matriz.

λ = 2 ± i

Passo 2

Vamos aplicar os autovalores na para encontrar os autovetores:

λ - 4 - 1 5 λ - 0 x 1 x 2 = 0 0

Para λ 1 = 2 - i :

2 - i - 4 - 1 5 2 - i - 0 x 1 x 2 = 0 0

- ( 2 + i ) - 1 5 2 - i x 1 x 2 = 0 0

Vamos aplicar eliminação Gaussiana

- ( 2 + i ) - 1 5 2 - i 0 0

Observe que se multiplicarmos a primeira linha por ( 2 - i ) ela se tornar um múltiplo da segunda linha:

- 5 - 1 5 ( 2 - i ) 2 - i 0 0

Como a primeira linha é um múltiplo da segunda linha, então podemos eliminar a primeira linha:

0 - 1 0 2 - i 0 0

Chegamos em:

- x 1 + 2 - i x 2 = 0

Vamos chamar x 2 de um valor t , então:

x 2 = t

- x 1 + 2 - i t = 0 ⇒ x 1 = 2 - i ⋅ t

Logo, o autovetor associado é:

x 1 → = 2 - i t t

Passo 3

Para λ 2 = 2 + i :

Note o seguinte, os autovalores são conjugados entre si. Isso nos permite afirmar que os autovetores também serão conjugados:

x → 2 = x → 1 - = 2 + i t t

Resposta

λ 1 = 2 - i

x 1 → = 2 - i t t

λ 2 = 2 + i

x → 2 = 2 + i t t

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