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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 30

Se k for um escalar real e v → um vetor em R n , então o Teorema 3.2.1 afirma que k v → = k v → . Essa relação continuará válida se k for um escalar complexo e v → um vetor em C n ? Justifique sua resposta

Passo 1

Digamos que v →   seja um vetor composto por dois vetores, em que   v R → pertence aos reais e v c → pertence aos complexos

v → = v R → + i v C →

v R → ∈ R n i v C → ∈ C n

E seja um escalar k composto por um valor real e um valor complexo:

k = k R + i k C

k R ∈ R i k C ∈ C

Passo 2

Vamos calcular a norma do produto k v →

k v → = ‖ k R + i k C v R → + i v C → ‖

Aplicamos a propriedade distributiva:

k v → = ‖ k R v R → + k R ⋅ i v C → + i k C v R → + i k C ⋅ i v C → ‖

E colocamos i em evidência:

k v → = ‖ ( k R v R → - k C ⋅ v C → ) + i ( k R ⋅ v C → + k C v R → ) ‖

Aplicamos a norma:

k v → = k R v R → - k C ⋅ v C → 2 + k R ⋅ v C → + k C v R → 2

Aplicamos as potências ao quadrado:

k v → = k R v R → 2 - 2 k R v R → k C v C → + k C v C → 2 + k R v C → 2 + 2 k R v C → k C v R → + k C v R → 2

k v → = k R v R → 2 + k C v C → 2 + k R v C → 2 + k C v R → 2

Podemos colocar k R e k C em evidência:

k v → = k R 2 v R → 2 + v C → 2 + k C 2 ( v R → 2 + v C → 2 )

E colocamos v R → 2 + v C → 2 em evidência:

k v → = ( k R 2 + k C 2 ) ⋅ v R → 2 + v C → 2

Vamos separar em duas raízes:

k v → = ( k R 2 + k C 2 ) ⋅ v R → 2 + v C → 2

Chegamos em:

k v → = | k | ⋅ ‖ v → ‖

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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