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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 16

Nos Exerícios 15-18, encontre os autovalores e as bases dos autoespaços de A.

A = - 1 4 - 5 7

Passo 1

Primeiro vamos encontrar os autovalores. Para isso vamos calcular o determinante abaixo:

λ + 1 - 4 5 λ - 7 = 0

Calculando o determinante:

λ + 1 λ - 7 - - 4 ⋅ 5 = 0

λ 2 - 6 λ + 13 = 0

Vamos resolver a equação utilizando a Fórmula de Bhaskara:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - ( - 6 ) ± ( - 8 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 13 2 ⋅ 1

λ = 6 ± - 16 2

Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos os autovalores da matriz.

λ = 3 ± 2 i

Passo 2

Vamos aplicar os autovalores na para encontrar os autovetores:

λ + 1 - 4 5 λ - 7 x 1 x 2 = 0 0

Para λ 1 = 3 - 2 i :

4 - 2 i - 4 5 - ( 4 + 2 i ) x 1 x 2 = 0 0

Vamos aplicar a eliminação de Gauss Jordan:

4 - 2 i - 4 5 - ( 4 + 2 i ) 0 0  

Perceba que se multiplicarmos a primeira linha por ( 4 + 2 i ) ela vai se tornar um múltiplo escalar da segunda linha.

( 4 - 2 i ) ( 4 + 2 i ) - 4 5 ( 4 + 2 i ) - ( 4 + 2 i ) 0 0   ⇒ 20 - 4 5 ( 4 + 2 i ) - ( 4 + 2 i ) 0 0  

Então poderemos zerar a primeira linha:

0 - 4 0 - ( 4 + 2 i ) 0 0  

Chegamos em:

- 4 x 1 - 4 + 2 i x 2 = 0

Vamos chamar x 2 de um valor t , então:

x 2 = t

- 4 x 1 - 4 + 2 i t = 0 ⇒ x 1 = - 1 + 1 2 i ⋅ t

Logo, o autovetor associado é:

x → 1 = - 1 - 1 2 i 1 t

Passo 3

Para λ 2 = 3 + 2 i :

Note o seguinte, os autovalores são conjugados entre si. Isso nos permite afirmar que os autovetores também serão conjugados:

x → 2 = x → 1 - = - 1 + 1 2 i 1 t

Resposta

λ 1 = 3 - 2 i λ 2 = 3 + 2 i x 1 → = - 1 - 1 2 i 1 t x → 2 = - 1 + 1 2 i 1 t

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