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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 28

Mostre que se A for uma matriz real n × n e x → um vetor coluna em C n , então R e A x → = A R e x → e I m A x → = A ( I m x → ) .

Passo 1

Vamos chamar uma matriz A real n × n de:

A = a 11 a 12 ⋯ a n 1 a 21 a 22 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 a 2 n ⋯ a n n

E temos um vetor coluna complexo qualquer:

x → = d 1 + b 1 i d 2 + b 2 i ⋮ d n + b n i

E o produto entre a matriz A e o vetor x → será:

A ⋅ x → = a 11 d 1 + b 1 i + a 12 d 2 + b 2 i + a 1 n ( d n + b n i ) a 21 d 1 + b 1 i + a 22 d 2 + b 2 i + a 2 n ( d n + b n i ) ⋮ a n 1 d 1 + b 1 i + a n 2 d 2 + b 2 i + a n n ( d n + b n i )

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que:

R e A ⋅ x → = A ⋅ R e ( x → )

Vamos aplicar os valores de A x → e de x →

R e a 11 d 1 + b 1 i + a 12 d 2 + b 2 i + a 1 n ( d n + b n i ) a 21 d 1 + b 1 i + a 22 d 2 + b 2 i + a 2 n ( d n + b n i ) ⋮ a n 1 d 1 + b 1 i + a n 2 d 2 + b 2 i + a n n ( d n + b n i ) = A ⋅ R e d 1 + b 1 i d 2 + b 2 i ⋮ d n + b n i

Agora, podemos excluir todos os valores complexos:

a 11 d 1 + a 12 d 2 + a 1 n d n a 21 d 1 + a 22 d 2 + a 2 n d n ⋮ a n 1 d 1 + a n 2 d 2 + a n n d n = A ⋅ d 1 d 2 ⋮ d n

Agora vamos aplicar o valor da matriz A

a 11 d 1 + a 12 d 2 + a 1 n d n a 21 d 1 + a 22 d 2 + a 2 n d n ⋮ a n 1 d 1 + a n 2 d 2 + a n n d n = a 11 a 12 ⋯ a n 1 a 21 a 22 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 a 2 n ⋯ a n n ⋅ d 1 d 2 ⋮ d n

E calculamos o produto entre a matriz e o vetor:

a 11 d 1 + a 12 d 2 + a 1 n d n a 21 d 1 + a 22 d 2 + a 2 n d n ⋮ a n 1 d 1 + a n 2 d 2 + a n n d n = a 11 d 1 + a 12 d 2 + a 1 n d n a 21 d 1 + a 22 d 2 + a 2 n d n ⋮ a n 1 d 1 + a n 2 d 2 + a n n d n

Isso prova que:

R e A ⋅ x → = A ⋅ R e ( x → )

Passo 3

O mesmo processo pode ser usado para provar que

I m A ⋅ x → = A ⋅ I m ( x → )

Vamos aplicar os valores de A x → e de x →

I m a 11 d 1 + b 1 i + a 12 d 2 + b 2 i + a 1 n ( d n + b n i ) a 21 d 1 + b 1 i + a 22 d 2 + b 2 i + a 2 n ( d n + b n i ) ⋮ a n 1 d 1 + b 1 i + a n 2 d 2 + b 2 i + a n n ( d n + b n i ) = A ⋅ I m d 1 + b 1 i d 2 + b 2 i ⋮ d n + b n i

Agora, podemos excluir todos os valores reais:

a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 1 n b n a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 2 n b n ⋮ a n 1 b 1 + a n 2 b 2 + a n n b n = A ⋅ b 1 b 2 ⋮ b n

Agora vamos aplicar o valor da matriz A

a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 1 n b n a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 2 n b n ⋮ a n 1 b 1 + a n 2 b 2 + a n n b n = a 11 a 12 ⋯ a n 1 a 21 a 22 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 a 2 n ⋯ a n n ⋅ b 1 b 2 ⋮ b n

E calculamos o produto entre a matriz e o vetor:

a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 1 n b n a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 2 n b n ⋮ a n 1 b 1 + a n 2 b 2 + a n n b n = a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 1 n b n a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 2 n b n ⋮ a n 1 b 1 + a n 2 b 2 + a n n b n

Isso prova que:

I m ( A ⋅ x →   ) = A ⋅ I m ( x → )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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