Enunciado

Um operador linear T : V → V em um espaço vetorial real de dimensão n é chamado semi-simples se a complexificação T C : V C → V C e diagonalizável. Mostre que se T é um operador semi-simples, então existe uma base C   d e   V tal que

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D 1 = λ i     o u   D i = α i - β i β i α i

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão um operador linear T : V → V em um espaço vetorial real de dimensão n é chamado semi-simples se a complexificação T C : V C → V C e diagonalizável. Mostre que se T é um operador semi-simples, então existe uma base C   d e   V tal que

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D 1 = λ i     o u   D i = α i - β i β i α i

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D 1 = λ i     o u   D i = α i - β i β i α i

Temos,

P D i = det ⁡ α i - I k β i β i α i - I k    

P D i = α i - I k 2 + β i

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

P D i = α i - I k 2 + β i

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P . A = 2 3 - 1 0 1 - 4 0 0 3
Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P . A = 1 - 2 - 2 0 1 0 0 2 3
Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A , encontrar uma matriz ortogonal P , para a qual P t A P seja diagonal. A = 3 - 1 - 1 3
Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P - 1 A P . A = 5 3 3 5
Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P . A = 2 4 3 1