Um operador linear T : V → V em um espaço vetorial real de dimensão n é chamado semi-simples se a complexificação T C : V C → V C e diagonalizável. Mostre que se T é um operador semi-simples, então existe uma base C   d e   V tal que

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D 1 = λ i     o u   D i = α i - β i β i α i

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão um operador linear T : V → V em um espaço vetorial real de dimensão n é chamado semi-simples se a complexificação T C : V C → V C e diagonalizável. Mostre que se T é um operador semi-simples, então existe uma base C   d e   V tal que

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D 1 = λ i     o u   D i = α i - β i β i α i

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D 1 = λ i     o u   D i = α i - β i β i α i

Temos,

P D i = det ⁡ α i - I k β i β i α i - I k    

P D i = α i - I k 2 + β i

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

P D i = α i - I k 2 + β i

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