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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 13b

Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A , encontrar uma matriz ortogonal P , para a qual P t A P seja diagonal.

A = 3 - 1 - 1 3

Passo 1

O problema fornece uma matriz simétrica A e pede para encontrarmos uma matriz ortogonal de modo que P t A P seja diaogonal.

Para isso, temos que lembrar que uma matriz simétrica é sempre diagonal e seus autovetores serão ortogonais entre si. Assim, a matriz de mudança de base P construída com os autovetores de A será ortogonal ( P t = P - 1 ). Desta forma, o que temos que fazer é encontrar os autovetores de A e normalizá-los para construir P !

O primeiro passo é encontrar os autovalores de A pela equação característica:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Assim,

3 - λ - 1 - 1 3 - λ = 0

Desta forma,

3 - λ 2 - 1 = 0 ⇒ 3 - λ = ± 1

Portanto, os autovalores são

λ 1 = 2             e           λ 2 = 4

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores:

A - λ I   v = 0

Para λ 1 = 2 :

1 - 1 - 1 1 a b = 0 0

Assim, tiramos que

a - b = 0 ⇒ b = a

Logo,

v 1 = a ,   b = a ,   a = a   ( 1 ,   1 )

Para que ele seja normalizado, a = 1 / 2 :

v 1 = 1 2 ,   1 2

Já para o segundo autovalor λ 2 = 4 :

- 1 - 1 - 1 - 1 a b = 0 0

Portanto,

a + b = 0 ⇒ b = - a

Assim,

v 2 = a ,   b = a ,   - a = a   ( 1 ,   - 1 )

Escolhendo a = 1 / 2 :

v 2 = 1 2 , - 1 2

Note que v 1 ⋅ v 2 = 0 . Portanto os autovetores são ortogonais, como deve ser!

Passo 3

Agora que temos os autovetores, basta construir a matriz P com eles:

P = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

Com essa matriz,

P t A P = 2 0 0 4

Resposta

P = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

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