Prove: se for uma base normal de e se puder ser expressa como.
Então é simétrica e tem autovalores
Passo 1
Vamos lá! Temos que lembrar que é dada por.
Passo 2
Agora vamos lembrar que se um vetor é ortonormal ele apresentará as seguintes características:
Sendo e ele for um vetor coluna ele pode ser escrito assim:
Agora que tal fazermos o produto entre e , assim temos:
Passo 3
Se nossa matriz pode ser escrita como:
Lembrando que provamos no passo anterior que se nossos vetores são ortonormais:
Então pode ser reescrita como:
Passo 4
Então que tal reescrevermos , assim temos:
Como temos:
Assim nossos autovalores serão:
Assim provamos que é uma matriz simétrica e que possui autovalores .
Isso é tudo pessoal! \o/
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)