Prove: se for uma base normal de e se puder ser expressa como.

Então é simétrica e tem autovalores

Agora vamos lembrar que se um vetor é ortonormal ele apresentará as seguintes características:

Sendo e ele for um vetor coluna ele pode ser escrito assim:

Agora que tal fazermos o produto entre e , assim temos:

Se nossa matriz pode ser escrita como:

Lembrando que provamos no passo anterior que se nossos vetores são ortonormais:

Então pode ser reescrita como:

Então que tal reescrevermos , assim temos:

Como temos:

Assim nossos autovalores serão:

Assim provamos que é uma matriz simétrica e que possui autovalores .

Isso é tudo pessoal! \o/