Enunciado

Seja A a matriz do Exercício 19 . Mostre que se b ≠ 0 , então:

x 1 = - b a - λ 1 ,   x 2 = - b a - λ 2

são autovetores de A associados, respectivamente, aos autovalores.

λ 1 = 1 2 a + d + a - d 2 + 4 b c

E

λ 2 = 1 2 a + d - a - d 2 + 4 b c

Passo 1

Vamos lá! Sendo nossa matriz A dada por:

A = a b c d

Vamos calcular nossos calcular nossos autovalores pela formula A - λ I = 0 .

A - λ I = a - λ b c d - λ = 0

a d - a + d λ + λ 2 - b c = 0

Como se trata de uma equação do segundo grau podemos resolver por Bhaskara, assim temos:

λ 1 = 1 2 a + d + a - d 2 + 4 b c

λ 2 = 1 2 a + d - a - d 2 + 4 b c

Passo 2

Agora vamos encontrar nossos autovetores, para λ 1 temos:

A - λ 1 I ⋅ x 1 = a - λ 1 b c d - λ 1 ⋅ - b a - λ 1 = 0

A - λ 1 I ⋅ x 1 = 0 a d - a + d λ 1 + λ 1 2 - b c = 0 0

Logo x 1 = - b a - λ 1 , agora vamos encontrar x 2 , para λ 2 .

A - λ 2 I ⋅ x 2 = a - λ 2 b c d - λ 2 ⋅ - b a - λ 2 = 0

A - λ 2 I ⋅ x 1 = 0 a d - a + d λ 2 + λ 2 2 - b c = 0 0

Assim x 2 = - b a - λ 1 .

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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